CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES

laquelle une valeur quelconque réelle de la nouvelle variable correspond à la valeur infinie dex] on obtient ainsi une formule plus générale, que nous commencerons par établir. Employons des

notations homogènes, en remplaçant x par — et a par ^- L'équa-

lion (3) devient

faisons maintenant la transformation linéaire

y = cx'-h dy\ p = ca'4- d^':

d'où

Irx'= dx — 6 y, r = ad—bc\ ry =-^ cx-\-ay,

P:r-aj^ = r(P'x'-ay).

Cette transformation change f{x^ y) en ^{x\ y')\ il en résulte

comme la fonction H est un covariant (§ 60), on a aussi

H' étant dérivée de cp, comme H est dérivée de /. L'équation (4) donne alors

^7; ^(pv- «>')»- n[^{x\y)Y

On peut évidemment supprimer dans cette formule tous les accents, lesquels ne sont qu'une affaire de notation, et écrire f au lieu de cp. II reste alors, dans la formule, les deux arbitraires' c et d.

Posons, pour avoir une notation plus élégante,

c= — T„ d = l, il vient finalement '

les deux membres de cette formule restent invariables quand on W. 25

applique la même transformation linéaire aux trois couples de variables x et yy ^ et r,, a et p.

L'équation (8) est une identité; elle a lieu pour toute fonction f(^yy) ^^ pour toute valeur des variables x, j', Ç, •/;. Faisons maintenant l'hypothèse que la fonction /{x, y) n'ait que des racines réelles, que, par conséquent, a et ^ soient réels; supposons de plus que Ç, yj, x e\, y soient réels. Les deux membres de

ridentité (8) sont alors essentiellement positifs. Soit P leur va-

leur commune; déterminons le rapport y ^^^ l'équation

ou bien

(9) <!> = (X^ - \x)^ P - (Xri - Y0« = o.

Cette équation a deux racines réelles, données par la formule

XTi-Y|==b(X^-Y^)v/P.

Voici ce qu'on peut dire sur la position des racines de cette équation :

Si l'on suppose X = x, Y z=z y^ la fonction <ï> est négative.

Si l'on suppose X = a, Y x=^^ c'est-à-dire si ^ est une des racines de l'équation /= o, on a

cette valeur est celle de l'un des termes de la somme

elle est, par suite, plus petite que P. 11 en résulte que, pour

la fonction ^ est positive.

Rangeons cycliquement toutes les valeurs des quantités ô et -

par ordre de grandeur, en leur faisant correspondre, par exemple,