CHAPITRE IX. — LIMITES DU NOMBRE ET DE LA VALEUR DES RACINES
certains points d*un cercle; représentons ^ par un point variable
de ce cercle, et désignons ces différents points par les notations a, X, X. La fonction ^ passe par zéro, lorsque le point X, partant de Xj marche dans le sens direct ou le sens rétrograde vers les points voisins ai ou a^. En désignant par X| et X2 les racines de l'équation (g), les points correspondants sur le cercle se placent dans l'ordre
(10) «1, X,, X, Xj, aj.
Donc : (X|, X2) représente un intervalle contenant le point arbitraire x^ mais ne contenant aucun point racine de f=^o. Les points X| e^ X2 sont donc plus près des racines voisines ai et 0L2 que le point de départ x.
Cette proposition reste vraie, quelque soit le second point arbitraire S; à la vérité, les points X| et X 2 en dépendront; mais ils seront toujours dans les intervalles (ai, x), (^, a2).
Une question se pose maintenant : comment doit-on choisir le point Ç, pour que X| soit aussi voisin que possible de ai, et X2 de a2, ou plutôt (puisque la connaissance du point ç n'est pas nécessaire), quel est le point X| le plus voisin de a,, et le point X2 le plus voisin de aa?
Supposons donné le point X; l'équation (9) est alors une équation du second degré pour le point Ç; à chaque position de X correspondent donc deux positions de $. Mais les seules valeurs acceptables de X| et X2 sont celles qui rendent réelles les racines de Téquation en Ç. Ces valeurs X| etX2 devront donc rendre positif le discriminant de l'équation (9) considérée comme étant du second degré en Ç; par suite, on obtient les valeurs limites de X, et X2 en égalant ce discriminant à zéro. Les coefficients de \^y 2Çr,, Tj^ dans l'équation (9) sont respectivement
ZîlZr^-^'l! (X7- Yx)«-f- XY,
388 LITRE II. — LES RACmES.
on publient ce discriminant en relranchant du carré du second terme le produit des deux autres; si l'on se sert de la relation
on trouve
Les valeurs limiles de -^ sont donc racines de l'équation
(II) (X/i+Y/;)>+(n-i)(X7-Yx)«H=o;
elle est du second degré en y»
Comme H est négatif, cette équation a deux racines réelles données par la formule
Cette formule conduit à plusieurs résultats remarquables, que Ton obtient en renonçant à la notation homogène.
Supposons d*abord j'= o et, par suite, - infini ; faisons Y == r,
on trouve alors deux valeurs X| et Xj comprenant la totalité des racines de f{oc) = o.
En posant
il vient
(i3) H = [a/iao^î — (n — i)aJ]ar*«-*-h. . .;
les deux valeurs sont alors données par la formule
(i4) naoX = — ai±y/(n — \)^a\ — in{n — i)
UqUi
Laissons -indéterminé: mais revenons à la forme non faomo-
gène en faisant j' = i , Y= i et employons les formules (7) et (9) du § 114; on déduit de l'équation (12)
f\x) ± An -i)i[f\x)Y-n{n - x)f{x)f\x) et ces valeurs ont la signiGcalion suivante :
