i L i{'in — I) J

possède les propriétés suivantes

On le démontre aisément par le procédé induclif en démontrant les formules directement pour les cas de n = 2, 3, ... ; on suppose qu'elles sont vraies pour l'indice n — i , et l'on prouve qu'elles sont encore vraies pour l'indice /ï, eu prenant deux fois la dérivée de la formule de récurrence

(I - x^)^'n{x) -f- nxV n{x) - n^ n^x{x) = (>.

Faisant x =» i dans l'équation (i5), on obtient une valeur de X plus petite que i , mais encore supérieure à la plus grande racine de Pfl ; savoir

Par exemple, pour /? = 7, on trouve

SqO livre II. — LES RACINES.

Une valeur plus exacte de la plus grande racine a été calculée par Gauss {Œuvres, t. III, p. 195) : c'est

X dépasse celle valeur à partir de la quatrième décimale.

De même que X^ et Xo déterminent un intervalle ne renfermant certainement aucune racine de l'équation, on peut aussi déterminer un intervalle, renfermant certainement des racines. Le mieux est encore de partir de la forme homogène et de se servir de la transformation linéaire.

Soit, comme précédemment, f{x^ y) une forme du n'*^™^ degré à

racines toutes réelles; soient, de plus, -> -? -, trois quantités

réelles dont deux sont arbitraires et dont la troisième est déterminée par l'équation

(16) (î/i-+-ry;)(?x-+-v/;)-H(îy-T,T)(î>-v^) = o.

L'équation (16) ne change pas, quand on applique la même transformation linéaire aux trois couples de valeurs Ç, r, ; ç', 7/;

On pourra donc généraliser toutes les conclusions que nous tirerons d'une forme particulière de cette équation. Choisissons la substitution linéaire de telle sorte que, pour les nouvelles variables, on ait j' = o et ç = o ; l'équation (16) donne alors pour 5' el r/

ou bien, en faisant «0= i , t/z:::: i ,

En désignant, comme précédemment, par a les racines de /, on a

a\ — 2a2=S(a2), ai=-S(a); donc

ce que l'on peut écrire