CHAPITRE 1. — FONCTIONS RATIONNELLES. 5l

mise sous cette forme, aussi longtemps qu'on iie fait aucune hypothèse particulière sur les n ombres /(o),/(i), . . .,y(/i).

§ 10. — Résolution du problème de rinterpolation

à l'aide des différences.

La définition de la fonction rationnelle et entière C^ à l'aide de la formule

. . ^v arCa?— i)...(a? — V -h i) < l) Uj- =

donne les relations

démontrées précédemment, en supposant que x est un nombre entier. On en déduit une détermination des coefficients M©, Mj, ..., M^, beaucoup plus commode pour le calcul que l'emploi des formules du paragraphe précédent.

D'après les formules (4) et (6) du § 9, on a, en effet,

(3) /(ar)=/(o)H-MiCi-^M,C»-i-...-f-M«C2.

Remplaçons x par x -\- i; désignons par A^^ la différence

(4) t^x=f{x-i-x)-f{xy,

d'après (2), cette différence sera

(5) Ax = M| + M, Ci -h MjGj H- . . . -hM^Cr*.

L'équation (5) est de même forme que l'équation (3), sauf le changement de w en /i — 1 . On en conclut

M, = Ao=/(0-/(o).

Posons maintenant

ii vient alors

Mo = /co), Mj = Ao, M,= Ai, ..., M„ = a;"«,

et la formule (3) devient

(7) /^x)=/(o)-f-AoGi^-A'oCi-^...-4-Aj.,G

On peut représenter de même les fonctions A^, A!p, A*,

A:r = A, -+- Ai Ci +

Ai = Ai -f- a; Ci

AJ-'C

Les quantités Ax, A^, . .., A^~* sont des fonctions rationnelles et entières de degré n — i , /i — 2, . . ., o : la dernière d'entre elles est donc une constante. Pour les représenter toutes, Il suffit donc de connaître les valeurs de/(o), Aq, AJ,, . . ., AJ~*. On les calcule aisément à Taide d'un tableau, qui, pour le cas de /2=3; par exemple, aurait la forme suivante

Ao

/(o),/(i), .. . étant donnés, les nombres de ce tableau se calculent par une suite de soustractions.

§ 11. — Suites arithmétiques d'ordre supérieur.

Les considérations précédentes servent de base à la théorie des suites arithmétiques d'ordre supérieitr.

Soit

Mo, Wl, Wt, Wj

une suite indéfinie de grandeurs; soit

Ao = Mt — Mo, Aj = Mj — Ml, A| = Mj — Mj,

la suite de leurs différences;

A'o = A, — Ao, A', = Aj — Al,

la suite de leurs. différences secondes, etc.