CHAPITRE X. — APPROXIMATION DES RACINES. SqS

on a

(3) T(0 = ?(o) -+- Aoq -H a; q -4 . . .-f- A;»-»'cf .

La valeur de cette formule réside dans ce fait que les différences successives décroissent si rapidement dans beaucoup de cas, qu'on peut se contenter de calculer quelques-uns des premiers termes de la formule (3).

Soit /(x) = o l'équation proposée et (a, p) un intervalle contenant une des racines cherchées; m étant entier, posons

en faisant

il vient

Aa (^ — «)(a: — a — ô) 6 ^ '0* JL

On pourrait aussi bien partir de l'autre limite de Tintervalle; il faudrait alors remplacer, dans la formule (3), x par ^ — 2$. On aurait

Ax-/(^-ô)-/(ar), Ai = Ajr 5 — Ax,

d'où

En supposant que y=/(x) soit l'équation d'une courbe rapportée à des axes rectangulaires, on peut donner une représentation géométrique de toutes ces relations.

Appliquons, par exemple, l'équation (4) à l'intervalle (a, a -[- o) et contentons-nous de prendre la différence première;, cela signifie, au point de vue géométrique qu'on remplace l'arc de courbe, joignant les deux points [a, /(a)] et [a + 8, /(a + 8)] par la corde de cet arc.

Prendre, en outre, la différence seconde, c'est remplacer l'arc de courbe qui joint les trois points d'abscisses a, a -J- 8, a -h 2 5

394 LÏVRB n. — LES RACINES.

par Tare de parabole passant par les mêmes points et ayant son axe parallèle à O^; celte parabole se rapproche de la courbe encore plus que la corde. Plus l'intervalle 3 est petit, moindre sera rinfluence des différences d'ordre supérieur.

Le degré d'approximation à rechercher ne dépend pas seulement de la précision avec laquelle on cherche à connaître la fonction f{jc)y mais aussi de la grandeur de la différence o entre les valeurs successives a, a -f- S, a -h 2 5, ... de la variable pour lesquelles la valeur de la fonction est donnée. La disposition de toutes les Tables de nombres, en particulier des tables de logarithmes, repose sur ces principes. Ce ne sont pas alors des fonctions rationnelles entières dont il s'agit; mais les mêmes règles s'appliquent à toutes les fonctions continues. C'est pourquoi les tables contiennent non seulement les nombres/(a), /(a -f- 8),/(a4- 20), .... mais aussi les différences premières et parfois les différences secondes. La différence première suffit pour les tables ordinaires à sept décimales. Dans les tables à dix décimales, le Thésaurus logarithmorum de Vega, on trouve aussi les différences secondes; il est nécessaire d'en tenir compte dans des calculs tout à fait précis.

On emploie utilement les formules d'interpolation pour calculer les racines des équations, ou plutôt pour corriger les valeurs approchées déjà trouvées par une autre voie.

Le problème peut être formulé de la manière suivante : Etant donnée une valeur /(r) comprise entre /(a) et /(a -f- 3), trouver la valeur correspondante de x.

Soit jr = a une première valeur approchée. Posons

A est un nombre connu de même signe que

et il est inférieur en valeur absolue à Aa. En posant x — a = w, la formule (4) donne

Si l'on s'en tient à la première différence Aa, on obtient, comme