CHAPITRE X. — APPROXIMATION DK5 RACINES. SgS
première correction j
si Ton pose ensuite
Il = - -h a, il vient
et, par suite, comme deuxième correction,
(8) „' = a^«A^-^iLi:^.
•^.Ai
La première correction s'obtient en remplaçant l'arc de courbe joignant les deux points d'abscisses a et a -f- 8 par sa corde; la seconde, en lui substituant la parabole passant parles trois points d'abscisses a, a + 0, a -h 20, ayant un axe parallèle à Ox. Soit, par exemple, l'équation
qui admet une racine réelle comprise entre i, 7 et 1,8. On trouve par le calcul le tableau numérique suivant
Ai
Puisque /(^) doit être nul, il faudra prendre 1 = 0,487; par
conséquent, la première correction pour la valeur a =^1,7 est,
d'après (7),
d'après (8), la seconde correction est
a'— 0,00164 ; d'où
En calculant cette valeur d'une façon un peu plus précise par
3g6 LIVRE II. — LES RACINES.
une autre méthode, on trouve 1,76929...: les trois premières décimales du résultat sont donc exactes.
Pour apprécier le degré de l'approximation, nous n'avons pas d'autre moyen que la petitesse des différences successives A, 1' Yj ... ; si A' est inférieur à la grandeur fixée à l'avance pour l'approximation, la première différence fournit un résultat exact.
La règle que nous venons de donner pour le calcul de la racine s'appelle la régula /alsi. L'énoncé le plus simple et le plus pratique de cette règle est le suivant :
Soit X une racine de l'équation /(x) = o^ comprise entre les deux nombres a et 3; si/(a) = — a,/(P) = t, la valeur
est une valeur approchée de x. C'est une autre façon d'écrire la formule (7).
§ 117. — Méthode d'approximation de Newton.
Newton a indiqué, pour le calcul des racines, une méthode préférable à l'interpolation; elle a été développée et perfectionnée par Fourier.
Soit
Téquation proposée; x = a. une valeur qu'on peut considérer comme une valeur approchée d'une racine. Faisons j: = a -h /i dans y (x); il vient
/(a -+- h) =/(«) + h/'(a)^ Al/''( a) -.- ....
Déterminons h par l'équation
ce qui suppose /'(a) 7^ o; il en résulte
