CHAPITRE X. — APPROXIMATION DES RACINES

quanlilé dont la valeur sera très petite, puisqu'elle ne contient que le carré du nombre très petit A.

En faisant des hypothèses convenables, la valeur

pourra être considérée comme uae valeur plus approchée de la racine. Si l'on remplace a par a', on aura de même

et ainsi de suite.

Il reste à répondre aux deux questions suivantes :

i** Sous quelles hypothèses a' est-il réellement plus approche que a?

2** Comment estimer le degré de l'approximation?

Fourier a répondu à ces deux questions, en faisant Thypothèse suivante :

On connaît un intervalle (a, p) contenant une racine et une seule; dans cet intervalle f {x) et f"{x) sont différents de zéro.

L'hypothèse que f"{x) est différent de zéro n'a été faite qu'en vue d'obtenir des conditions simples pour l'application de la méthode. Elle n'est pas indispensable en elle-même pour que la correction soit applicable. S\ f{x) et f"{x) n'ont pas de plus grand commun diviseur, c'est-à-dire ne s'annulent pas simultanément, on peut toujours restreindre l'intervalle de façon que l'hypothèse de Fourier soit vérifiée; si, au contraire, f{x) el/"{x) ont un plus grand commun diviseur, il suffit d'en débarrasser la fonction f{x) et de n'appliquer la méthode de Newton qu'aux racines restantes.

Une considération géométrique permet de voir simplement ce qui se passe; à cet effet, on considère j^=:/(j:) comme l'équation d'une courbe plane en coordonnées rectangulaires. L'équation

est l'équation de la tangente à cette courbe au point [a, /(à)] 5 la

méthode d'approximation de NewtOQ revient à remplacer dans l'intervalle (a, p) la courbe par la tangente à l'une de ses extrémités, au lieu de la corde comme dans la méthode d'interpolation.

Lorsque la dérivée seconde s'annule dans l'intervalle (a, P), c'est-à-dire lorsque la courbe possède un point d'inflexion dans cet intervalle, il peut arriver que les deux tangentes aux points extrêmes conduisent à des valeurs situées en dehors de l'intervalle {fig- 21); la méthode de Newton n'est pas applicable. Si l'inter-

Fig. 21.

valle (a, p) a été convenablement diminué, les deux tangentes peuvent conduire à des valeurs intérieures {Jig* 22). Dans ces

Fig. 32.

deux cas la régula falsi donnera toujours une meilleure approximation.

Supposons maintenant (^\xe f [x) etf"(x) soient dilTérents de zéro dans l'intervalle considéré. Le sens de la concavité de la courbe ne change pas; le point de rencontre de l'axe Oj" avec l'une au moins des tangentes extrêmes se trouve à l'intérieur de l'intervalle (a, p). Ce fait se présente certainement, lorsqu'on prend la tangente à celui des points extrêmes pour lequel /(^) et f\x^