CHAPITRE X

APPROXIMATION DES RACINES

ont le même signe, "Le^ fig. 28 et 24 montrent ce qui se passe, en supposant que f{oc) soit d'abord positif, puis négatif. Dans le

Fig. a3.

premier cas p' est une valeur p lus approchée que ^3 ; dans le second cas a' est plus approché que a.

Si, en même temps, on veut rapprocher l'autre limite de la racine, afin d'obtenir un nouvel intervalle compris dans Tancien,

Fig. 24.

il suffit, d'après Fourier, de mener par l'extrémité non utilisée de l'arc [par le point a {fig- 23)], la parallèle à 6 j3'; le point a' sera la limite inférieure du nouvel intervalle. On aura alors, dans le premier cas,

dans le second

fin)

(a', P') est le nouvel intervalle compris dans (a, P) et contenant la racine cherchée.

On irailerait de même les deux autres cas dans lesquels f'{oc) est négatif dans Tîntervalle considéré.

On peut aussi obtenir ces nouvelles limites d'une meilleure manière, en combinant la méthode d'interpolation avec la méthode

Fig. a5. •

de Newton, ainsi que le montre la fig, 25. Les limites du deuxième intervalle sont alors

Ml.

Tous ces résultats se résument dans l'énoncé suivant :

Soit (a, ^) un intervalle contenant une seule racine, dans lequel f {x) et /"(x) conservent un signe constant; soit p la limite pour laquelle /{^) et/" {^) ont le même signe, ^pouvant d'ailleurs être plus grand ou plus petit que a; on obtient un intervalle (a', P') compris dans l'intervalle (a, P) et possédant les mêmes propriétés, en prenant

Démontrons algébriquement ces résultats obtenus par des considérations géométriques; supposons/'(a:) ei/"(x) positifs dans l'intervalle (a, p), a plus petit que p, et par suite