CHAPITRE X. — APPROXIMATION DES RACINES
Il sera inutile d'envisager les trois autres cas; ils se traiteront de la même façon que celui-ci.
Formons la fonction
ainsi que sa dérivée première
Le numérateur ^(x) de cette expression s'annule pour x =^ ^; sa dérivée ^'(^) est égale à
elle est donc toujours négative dans l'intervalle (a, p), ^{x) est donc constamment décroissante; puisqu'elle s'annule pour:r= ^, elle est toujours positive dans Tintervalle (a, P). Par suite, ^'(x) est aussi positif dans le même intervalle, et la fonction ^(x) est constamment croissante. Il en résulte
si
Posons il vient
différence positive d'après l'équation (5); donc
Remplaçons, dans la formule ( 5), ^successivement par a' et P'; observons que
. il vient
La racine cherchée est donc encore comprise entre a' et P', nombres compris eux-mêmes entre a et p.
Si, dans ces nouvelles expressions, on remplace a et p par a' et P', on trouvera un nouvel intervalle compris dans le précédent, possédant les mêmes propriétés, etc.
Il s^agit maintenant de se rendre compte de la convergence de ce procédé. Posons d'après (6)
Les deux termes de cette fraction seront divisibles par (^ — a)^; supprimons ce facteur commun, et remplaçons dans l'expression obtenue a et p par Ç et Yj ; on trouve alors
^1 et ^2 étant des fonctions rationnelles et entières des deux variables Ç et Tj.
Soit X la racine comprise dans l'intervalle (a, P); d'après les hypothèses faites sur f{x)^ les deux fonctions <t| et ^a ne s'annulent pas, lorsque Ç et7) vérifient les conditions
<8) a<5<a:, a7<7)ip.
La fonction ^(i, vj) est plus petite que i pour Ç = a et tj = p; il en est de même pour tout autre couple de valeurs des variables ^ et 7j pour lesquelles y(Ç) est négatif et /(vj) positif, puisque l'intervalle ($, r\) pourrait être substitué à l'intervalle (a, P).
^(iy ^) 6S^ une fonction continue des variables ^ et 7), aussi longtemps qu'elles vérifient les conditions (8); par conséquent, la fonction ^ admet pour l'ensemble de ces valeurs un certain maximum, plus petit que i, puisque la fraction $ reste inférieure à I , même dans les cas limites $ = ^, tj = ^.
Il existe donc une fraction proprement dite 9, telle que
pour toutes les valeurs de (Ç, y]) appartenant au domaine défini par les conditions (8). De l'équation (7) on conclut
