CHAPITRE X. — APPROXIMATION DBS RACINES

De même, si Pon passe de l'intervalle (P', a') à l'intervalle plus petit (p", a"), il vient

Comme les nombres al et ^' appartiennent au domaine (8), 6' ne peut'être supérieur à 0; par suite, on peut écrire 0 au lieu de 0', et l'on a

d'où, en général,

p(v)-.tt(v)<;(p a)ev.

Les intervalles successifs décroissent donc au moins aussi rapidement que les termes successifs d'une progression géométrique décroissante.

Prenons, par exemple, l'équation

qui admet une racine comprise entre

a = a,35 et p = 2,36.

Les formules (4) donnent

Il en résulte que 2,3598 est une valeur approchée de la racine avec quatre chiffres décimaux exacts. Un calcul plus précis montre que, pour cette valeur, f{x) est encore négatif : on peut donc prendre cette valeur pour a'; une nouvelle approximation donne alors 2,359304.

Le principe de la méthode de Newton est aussi celui sur lequel reposent les méthodes de J,-G. Ilorner et de Joseph Ilorner que nous ne pouvons que mentionner. Toutes les deux ont pour but une disposition convenable du calcul; la première, en particulier, emploie un algorithme approprié au système des nombres décimaux, analogue aux règles de la division de l'arithmétique élémentaire. Il faut être bien exercé pour employer ces méthodes avec rapidité et précision (*).

( ' ) N.-G. HoRNER, Nouvelle méthode de résolution des équations numériques

4o4 UY^E II. — LES RACINES.

§ 118. — Méthode d'approximation de Daniel Bemoulli

et méthodes connexes.

La méthode d^appro&imation de Bemoulli (*) repose sur le principe suivant : Étant donnée une suite de quantités réelles, croissantes ou décroissantes, si Ton élève tous les termes de cette suite à une même puissance, les différences entre les termes de la nouvelle suite sont d'autant plus grandes que Texposant de la puissance est plus élevé.

Soient a, ^, y, ... des grandeurs quelconques, réelles ou complexes, mais telles que le module de a soit supérieur à celui des

autres: les fractions -> -> ••• auront des modules inférieurs à ' a a

l'unité; on a

•HIT- il)

m croissant indéfiniment, cette expression a pour limite a.

Si a, p. Y, . . . sont les racines d'une équation algébrique, le premier membre de (i) est le quotient de la somme des m'*"®' puissances des racines par la somme des (m — i) *"•% donc :

Le quotient de la somme des puissances m'*-*"*" des racines d'une équation par la somme des puissances (m — i)«^«»c« de ces mêmes racines a pour limite la racine de plus grand module, quand m devient infini.

Si m est négatif, et si a est la racine de plus petit module, on conclut de même que :

Le quotient de la somme des puissances — m des racines par la somme des puissances — {m-\-i) a pour limite la racine de plus petit module, quand m devient infini.

de tout ordre, par approximations continues, communiquée par Davies Gilbert {Phil. Trans., 1819).

Joseph Horner, Approximation par parties proportionnelles des racines d'une équation algébrique {Quarterly Journal of Mathematics, vol. III; 1860).

(*) D. Bernoulli, Commentationes Petropolitanœ, t. III.