CHAPITRE X. — APPROXIMATION DES RACINES. ^o
On sait calculer les sommes des puissances semblables des racines comme fonctions symétriques des coefficients ; il suffit alors de prendre m suffisamment grand pour obtenir une valeur approchée de la racine de plus grand ou de plus petit module.
Cette méthode n'est pas appliquable lorsque deux des racines admettent le module maximum ou minimum; elle ne peut s'appliquer, par exemple, à une équation à coefficients réels, admettant un couple de racines imaginaires conjuguées, dont le module est supérieur à celui des racines réelles.
Lorsque la racine de plus grand module ne diffère que peu de la suivante, le procédé ne conduit que lentement à une valeur un peu exacte de la racine.
Jacobi a complété, en un certain sens, la méthode de Bernoulli(«).
Soient Xiy x^y , . ,^ Xn les racines d'une équation ; supposons que x^j x^t > . . <, Xh aient des modules supérieurs à ceux des racines
Posons
(2) JPm^l^^i
Pm+k = a7;"+*-h arj'+^" -h ... -h x'»-^^ ;
(3) (x — Xi)(x — Xi).,.(x — xji) = a?*-i- Aia?*->-f-. . .-f- A^t; les coefficients A|, A2, .. ., A;^ vérifieront les équations
Pm-i-k ■+■ ^iPm+k'-X ^- ^\pm-^k-t -^ . . . -- kkPm = O,
//v I Pm-^-k-^\-^ ^\Pm-^k -^ ^tPm-k-k-\ -^" '— ^kpm^l — O,
l Pm-i-%k-i -+- ^iPm-t-tk-i-+- A j/>m-»-î*-3 + • • • "H ^kPm.+k-\ = O.
Associons aux équations (4) l'équation
a?* H- Ata7*-ï-H. . .-h Ajt= o, et éliminons les coefficients A|, As, ..., A^t; on trouve l'équation
(') Observatiunculce, etc. {IVerke, t. III, p. 280).
LIYRB II. —
LES RACINES
de degré k,
a?* ar*— *
Pm-t-k Pm+k—\
Pm
Pm-i-k+t Pm+k
Pm-hl
Pm-htk—i Pm-htk—t
• • • Pm-hk-i
qui a pour racines Xij x^^ • . . , ^a. Les quantités pmyfm^x^ • • • peuvent être remplacées avec d'autant plus d'exactitude par les sommes des puissances semblables de toutes les racines que m est plus grand.
C'est ainsi que, pour Ar = a, on trouve
PmPm-y% — pm-hlpm-hi , Pm+% ~ Pm-htPm-^-Z
Pm+i —PmPm-hi
/'îi+l —PmPm+X
c'est l'équation que l'on peut employer, lorsque, dans une équation à coedficients réels, le module maximum est celui de deux racines imaginaires conjuguées.
Quand on applique la méthode de Bernoulli aux sommes des puissances négatives, on obtient, comme nous l'avons remarqué, une valeur approchée de la racine de plus petit module. Un changement d'origine permet évidemment de transformer une racine quelconque en racine de module minimum; cette transformation exige, bien entendu, que l'on connaisse déjà une valeur approchée de cette racine.
M. Fr. Mejer a indiqué une formule qui convient à tous les cas (*).
Soient ai , a2 , . • . , dn les racines réelles ou imaginaires de l'équation y(x) = o; soit/? un point du plan de la variable a:, tel qu'on puisse décrire de ce point, comme centre, un cercle ne contenant qu'une seule des racines, par exemple ai ; les modules des fractions
P — OLn
sont donc plus petits que i. Il existe toujours de tels points; on peut les déterminer par la méthode de Sturm. Soit en outre ^(x)
( ' ) Mathematische Annalen, t. XXXIII.
