CHAPITRE X. — APPROXIMATION DES RACINES. ^OJ

une fonction arbitraire première dixec/Çx) [par exemple cp (:r ) = i]; formons les fonctions symétriques

(g. ^ (/> — air (/?-aîV" '" (/? — ««)

^m SI pour limite ai quand m devient infini, et s'approche de cette limite, d'autant plus rapidement que les modules des fractions (5) sont plus petits.

Pour le voir immédiatement, il suffit d'écrire la formule (6) sous la forme

Mentionnons encore, en terminant, les recherches récentes de M. Fr. Cohn, qui a développé ces méthodes de résolution approchée des équations algébriques et les a examinées au point de vue de la théorie des fonctions ( ' ).

§ 119. — Méthode d'approximation de Gràffe.

Du même principe que la méthode de BernouUi procède aussi la méthode indiquée par Grâffe et développée par Encke (*) ; elle se prête tout particulièrement à la pratique du calcul.

Soient a, p, Y, ... les racines d'une équation, a celle de module maximum \ l'expression

a pour limite a quand m devient infini; cette expression converge

( * ) Fr. Cohn, Sur les grandeurs récurrentes et leurs relations avec les équations algébriques {Mathematische Annalen, t. XLIV; 1894).

(') Graffe, La résolution des équations numériques d* ordre supérieur, réponse à une question proposée par l'Acadéniie de Berlin; Zurich^ 18^7. Encke, Journal de C relie, t. 22; i84i.

4o8 LIVRE II. — LES RACINES.

vers a plus rapidement que le quotient

considéré au paragraphe précédent; on le reconnaît diaprés la formule du binôme généralisée; elle donne, en effet,

7a'«-4-?'«4-Y'«-4-...=«y/i +(iyv(ï)

-'hi(ir-ia)"--]

On obtient, diaprés le même principe, ]a racine de module minimum comme limite de l'expression

enfin, p étant un nombre arbitraire, on obtient la racine la plus voisine de p comme limite de

Transformons l'équation /(x) = o par la substitution

y = - ou jr = -;

les expressions (a) et (3) ne sont autres que l'expression (i) transformée par les mêmes substitutions ; nous pourrons donc nous borner à considérer l'expression (i).

Si Ton applique la formule (i) à une équation à coefficients réels, a'" -f- p*" -f- Y*" + ... est un nombre réel; si la racine de plus grand module est réelle, on devra prendre la détermination réelle de la racine m**"* dans la formule (i). Si m est un nombre pair, il faut encore choisir le signe devant le radical; il est donc nécessaire de savoir si la racine de plus grand module est .positive ou négative. En tout cas, il suffira de substituer la valeur approchée trouvée dans l'équation pour reconnaître ce qui en est.