CHAPITRE X. — APPROXIMATION! DES RACINES. 4o
De même, si Ton applique la formule (i) à une équation à coeflficîents imaginaires, il faudra pouvoir reconnaître quelle est celle des déterminations de la racine m**"® qu'il convient de prendre.
Les expressions
se calculent d'une façon particulièrement simple, quand les valeurs de m sont les puissances successives de 2,
Sa est le coefficient changé de signe du terme de degré n — 1 dans l'équation admettant pour racines les carrés des racines de la proposée. Cette équation se forme aisément de la manière suivante :
Réunissons tous les termes qui renferment x avec un exposant pair, et mettons x en facteur dans tous les termes où son exposant est impair; on pourra écrire
L'équation aux carrés des racines est alors
En opérant de môme suryi(a;), on obtient l'équation qui a pour racines les quatrièmes puissances des racines de la proposée, etc.
L'exécution de ce calcul est très simple et conduit, après peu d'opérations, à une approximation très suftisante.
Prenons quelques exemples.
Considérons d'abord l'équation
qui admet une racine réelle positive et deux racines imaginaires. La racine réelle est supérieure à 1,7", comme le produit de toutes les racines est égal à 2, et que le cube de i , 7 est supérieur à 2, le module commun des racines imaginaires est inférieur à la racine réelle. La racine réelle est celle de module maximum ; on l'obtiendra donc par la méthode de Grâfle. On forme, comme il a
4 10 LIYRB II. — LES EAGINES.
été indiqué, les équations qui admettent pour racines les puissances d'exposants 2, ^, 6, S^ . . . des racines de la proposée; on
trouve ainsi
a:'— Sx^ — 16 X — j6 = o, 37S — 96a?* — 16* =0;
par conséquent,
est une valeur approchée, à une unité près du quatrième ordre décimal. L'équation suivante ne donnerait pas d'autre résultat, parce que le terme du premier degré en x manque dans la dernière équation obtenue. Mais l'équation suivante donne une valeur exacte à moins d'une unité du sixième ordre
Prenons comme second exemple une équation du cinquième degré, qui nous fournira l'occasion d'employer plusieurs théorèmes du paragraphe précédent ; cet exemple est emprunté, comme le précédent, à la théorie de la multiplication complexe des fonctions elliptiques. C'est l'équation
L'équation aux carrés des racines de (5) s'obtient en remplaçant x^ par X dans l'équation
(a?» — 27» — 23?)* — (aa?» -+- 1)» = o, ce qui donne
(6) X* — 2ar^ — 3a7* — 1=0.
Employons encore deux fois le même procédé; les équations qui admettent pour racines les quatrièmes et huitièiïies puissances des racines de la proposée sont
(7) a?» — loa?* -I- 9.r8 — 4a;' —1=0,
(8) ar»— 82a?*-+- a?* — 36a7« — Sa?— 1 = o.
Cette dernière équation se prête à la discussion. D'après le théorème de Descartes (§ 109), elle a au moins une racine po-
CHA.PITRE X. — APPROXIHATIOIf DES RACINES. ^H
sltive; en effet, le premier membre de (8) se réduit à — lao pour :r = I ; il est positif pour x infini.
Formons pour cette équation (8) les fonctions nécessaires pour Tapplication du critérium de Newton (§ 109),
la succession des signes est
donc (th. VIII, § 109), l'équation (8) a quatre racines imaginaires. La racine positive est supérieure à i, puisque le premier membre est négatif pour a: z= o et x ==• i .
Pour reconnaître la racine de plus grand module, nous poserons x= - dans l'équation (8), et nous chercherons combien il y
a de racines à l'intérieur d'un cercle de rayon i, ayant l'origine pour centre. Dans le polynôme
z =cos6-4- isînO;
faisons il devient
en posant
cp = C0856 -4- 8cos4ô H- 36cos36 — cosaô -f-82 cosO — 1, ^ = sin50-i-8sin40 -h 36 sin3e — sinaô -f- SasinO.
Nous allons montrer que ^ est positif lorsque 0 est compris entre o et tc; par suite, négatif lorsque 6 est compris entre o et — ic; le cercle de rayon unité est donc partagé en deux segments sur lesquels la fonction ^ a des signes opposés.
Donc (§ 113, XI) ce cercle ne renferme qu'une seule racine ; c'est forcément la racine réelle, tandis que les racines imaginaires sont situées en dehors de ce cercle. La racine réelle de l'équation (8) est donc celle de plus grand module; elle sera fournie par la méthode de Grâffe.
Pour démontrer cette propriété de la fonction ^, posons
4l2 LIVRE II. — LES RACINES.
et employons les formules
sin5e = sinO(Ç* — 3Ï«-M),
sin4e = sine(j3^20, sin30 = sine({»— i),
sinaô = sinB.J.
Il en résulte
^; = sine[?^ -f- t«(8î-h 33) + 47 - '7Î] ;
on voit immédiatement que le crochet est positif, tant que Ç est inférieur à 2 en valeur absolue.
Uéquation (8) elle-même donne déjà une valeur assez approchée de la racine
En faisant deux opérations de plus, on obtient la valeur plus précise 1,78469 avec cinq décimales exactes.
Cette méthode ne fournit pas à chaque fois deux limites qui renferment la racine inconnue. Pour apprécier le degré de l'exactitude, il suffira de vérifier qu'en appelant Sfi, el Sfi.' deux sommes de puissances, successivement utilisées dans le calcul, on a sensiblement
ou
lilogSji— (i'logSji = o.
II faut faire cette vérification sur plusieurs termes successifs; elle pourrait se faire en apparence sur certains termes particuliers et cesser de se faire pour les termes ultérieurs.
§ 120. — Résolution trigonométrique de l'équation
du troisième degré.
Nous allons parler de quelques méthodes de résolution applicables à des équations numériques de forme particulière. Ces méthodes ont pour but de se servir des tables universellement connues des fonctions trigonométriques et des logarithmes.
Considérons d'abord l'équation du troisième degré sous la forme réduite
(i) x^-^ ax -r-h — o^
