CHAPITRE X. — APPROXIMATION DES RACI.VES

a ei b étant des nombres réels. Changer :r en — x revient à changer fc en — 6; on peut donc toujours supposer que b est négatif; il reste alors trois cas diflereiits à envisager. Posons 6 = — g et a = ±6, selon que a est positif ou négatif. Nous avons les trois équations

(a) x^-{-ex — ^ = o,

ib) X* — ex — >§" = o, avec — < ^>

(c) x^^ ex — g = o, avec — > —•

Nous ne considérerons pas les cas limites où l'une des quantités

e, jfi', ^ serait nulle.

Pour appliquer la formule de Cardan (§ 38), posons

le signe supérieur devant être pris pour l'équation (a), le signe inférieur pour les équations {b) et (c). Les deux premières équations n'admettent qu'une seule racine réelle; la troisième, au contraire, en a trois (cas irréductible). La formule de Cardan s'écrit

Voici comment on procède dans chaque cas.

(a). Soil 6 un angle compris enlre o° et 90°, défini par l'équation

d'où ^

soitf un autre angle défini par l'équation

(5) tang - = tan^»^;

il vient finalement

Les angles 0, (p et la valeur de x se calculent aisément par logarithmes à l'aide des formules (4), (5), (6).

Pour obtenir les racines imaginaires, il suffit de remplacer langcp par p tangcp, p désignant une des racines cubiques imaginaires de Tunité.

(6). Dans ce cas, on détermine un angle 6, compris entre o^ et 90**, par Téquation

'X y 27 sin6'

on en conclut

cot6,

Si l'on détermine cp par la condition

(8) on a

tang- = tang>9,

\ 3 smacp

(c). Dans ce dernier cas, où les trois racines sont réelles, on pose

(10) £=4/— cose,

X = t / ^ (/côsO+TsînO -t- ycosO — (sinS), ce qui s'écrit, d'après la formule de Moivre

^^Vs

GHàPITBB X. — APPROXIHATIO^ DES RACINES. 4l5

En supposant 6 dans le premier quadrant, les valeurs des deux autres racines réelles sont

Toutes ces formules sont calculables par logarithmes.

§ lâl. — Méthode de Gauss pour la résolution des équations trinômes.

Gauss a indiqué une méthode permettant de calculer les racines d'une équation à trois termes. On rencontre souvent des équations de ce genre; elles renferment comme cas particuliers l'équation du second degré et Téquation réduite du troisième degré.

Soit

une équation trinôme admettant une racine positive que Ton cherche à déterminer. Si elle admettait une racine négative, on la trouverait par le changement de :r en — x.

Trois cas seulement sont à distinguer, suivant les signes de a et de 6. Le cas de a et 6 tous deux positifs est exclu, puisque dans ce cas l'équation n'admet pas de racine positive. En désignant par e Q\, g des nombres positifs, nous considérons les trois équations

(a) 37'»+'»-+- car"» — ^ = o,

(6) a:'»-'-'» — ca:"* — ^ = o,

(c) a?"»-*-'*— ca^'w-i-^ = o.

Dans les deux premiers cas, le théorème de Descartes nous apprend certainement l'existence d'une racine positive; dans le troisième cas, il y en a o ou 2.

Posons, d'après Gauss,

et cherchons à ramener les équations (a), (6), (c) par des substi-

4l6 LIYBB 11. — LES RACINES.

tutions convenables à la forme

sin*6 -h cos*6 = i.

A cet effet, on écrit

(a) = sin'e, = cos*G, A — — --^,

g g cos»''*-»-*«6

(a) * (h) ^.r-"«-'*= sin*6, ear-» = cos*6, X =

rgjtt ET X — '"

(c) — =sin«e, ^- = cos«e, X = sin«'«ecos««e.

Ces dernières formules permettent de distinguer le cas où l'équation (c) a deux racines positives de celui où elle n'en a aucune. On sait, d'après les règles du Calcul différentiel, que sin^'^Ô cos^^ô admet un maximum égal à

(/n-h/i)"»-*-'»' atteint lorsque

tang'6 = —

Si \ est inférieur à cette limite, l'équation (c) admet deux racines positives; sinon, aucune.

Dans les formules (2) Xest un nombre donné; il faut maintenant déterminer, à Taide des tables, l'angle 0 qui satisfait à ces équations. Lorsque l'on n'a aucune indication sur la valeur approximative de cet angle, il est bon de se servir pour la première approximation d'une table de degré en degré, où les nombres sont limités à deux décimales; on corrige ensuite la valeur ainsi trouvée, à l'aide de tables plus exactes.

Gauss ne se sert pas des tables trigonométriques, mais des logarithmes d'addition et de soustraction, considérés d*abord par lui. Nous allons montrer en peu de mots quel est son procédé, en l'appliquant à l'un des cas. Pour les détails pratiques de la niéihode, on devra se reporter au Mémoire de Gauss (*).

Les tables des logarithmes d'addition et de soustraction, considérées et calculées tout d'abord par Gauss, se trouvent maintenant

(') Contribution à la théorie des équations algébriques, 1* Partie; 1849. Gauss, Werke, t. III, p. 85.