CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES
Il est évident que la suite (i) est complètement déterminée, quand on donne son premier terme et la suite de ses difTérences; car on a
De même, la suite (i) est complètement déterminée, quand on donne ses deux premiers termes, ainsi que la suite des différences secondes, etc.
La suite (i) est dite une suite arithmétique d'ordre n^ si la suite de ses différences n'^™*'' est constante, si donc ses diff'érences d'ordre /i-f- i sont toutes nulles.
Lorsque dans une fonction f[x)on remplace x par les nombres o, 1 , 2, ...,/?, on obtient une suite d^ordre n.
En effet, posons
^'x = AjH-1 — ^x^
Aj. sera du degré n — i en ^, A^ du degré n — 2, par suite, A""* sera une constante indépendante de x.
Soit alors
1^0} 2^1) ^ty • • *
une suite arithmétique d'ordre n\ cette suite sera déterminée, si l'on donne les n valeurs m©, w<, M2, . . ., u„i ainsi que la constante qui représente la diff*érence n**"®. Mais cette dernière sera déterminée si Ton donne encore le terme «„+« . Il en résulte ce théorème :
Une suite arithmétique d'ordre n est complètement déterminée par la connaissance de ses n + 1 premiers termes.
Comme, d'autre part, une fonction /(a?) de degré n est aussi entièrement déterminée quand on se donne arbitrairement /"(o), y(i),/(a), . . ., f{n)^ il en résulte la proposition suivante : *
On engendre toutes les suites arithmétiques d^ ordre /i, en remplaçant x par o, 1, 2, . . ., /i dans les/onctions rationnelles et entières de la variable x.
L^expression du terme général est alors donnée par la formule (7) du paragraphe précédent.
Les sommes formées, en considérant successivement 1, 2, 3, . . ., m + I , . . . termes d'une suite arithmétique d'ordre n, forment une suite d'ordre n-\- i. En effet, leurs différences premières sont données par la formule
et forment une suite d'ordre n, La formule (7) du § 10 permet donc de déterminer S^, quand on suppose donnés Sq, S|, . . .^
Soity*(.r) la fonction qui engendre w,„; pour trouver la fonction F(:r) qui engendre S^, on posera
La formule (7) du § 10 donne, d'ailleurs,
F(^)=F(o)-+-DoCi + D;CÎ à condition de poser
Do = F(i)-F(o)=/(i), Di=/('A)-/(i) = A,. d; = a,-Ai = a;,
On en conclut que
Soit, par exemple, f{x)^=x^] ^{^^) ^^ sera autre chose que la somme des carrés des m premiers nombres. On aura
Par conséquent,
