CHAPITRE X. — APPROKIMATION DES RACINES

Une disposition un peu différente du calcul a été indiquée par M. Gundelûngen dans son Ouvrage récemment paru : Tables pour le calcul des racines réelles de toutes les équations trinômes (Leipzig, 1896).

L^équation (6), par exemple, y est mise sous la forme

En posant

— ro", — a7'» = ioA,

il vient

(lo) n-ioA=io*

et

(II) donc

B-4-log^ A-+-log:y?' — loge ° m -h n m

(12) A B = loge log^.

Outre les valeurs correspondantes de A et B, les tables de Gundelfingen contiennent encore les valeurs de A — [jlB pour [jl = o,o5, u. = o,i, [A = 0,1 5, ..., de telle sorte qu'après avoir calculé le second membre de (12), on peut déduire de la table directement des valeurs approchées de A et de B; d'après l'équation (i i), on en conclut des valeurs approchées de log^.

La méthode de Gauss a été généralisée pour des équations à plus de deux termes (*).

§ 122. — Calcul des racines imaginaires d'une équation trinôme.

Gauss a aussi indiqué un procédé de calcul des racines imaginaires d'une équation trinôme; nous allons l'exposer en peu de mots. Nous supposerons les coefficients de l'équation réels, quoique la méthode soit applicable à tous les cas.

(') A. WiEHER, Journal de Schlômilch, t. XXXI. R. Mehmilb, Id.f t. XXXVI.

Prenons Téqualion sous la forme

(l) j?"«-»-« — CJ7'" — ^ = O,

sans faire d^aiileurs aucune hypothèse sur les signes de e et de g. Posons X = re^'y en égalant à zéro la partie imaginaire de (i), on trouve

« sin/nO

sin(m-i- /i)6'

nous aurons deux autres équations analogues, après avoir multiplié au préalable par x^'^ et x^'^~"] ce sont

sin/i6

— ^sin(m -f- /i)6 e sin/iO

Chacune de ces trois équations est conséquence des deux autres. Éliminant r, il vient, en posant ). := -^:^i^

^^^ ^ ^ [sin(/n + n)e]"'-»-«

Des deux racines imaginaires conjuguées il suffit de calculer une seule; on peut donc supposer 0 dans le premier quadrant; mais alors r pourra devenir négatif.

Reste à tirer de la formule (5) la valeur de 8, puis la valeur de r des formules (2), (3) ou (4); c'est ce que nous allons montrer sur l'exemple déjà considéré

a;' — 'IX — A = o.

L'équation (5) devient dans ce cas

1 (sin'iO)* sin6 (^^ 2~ (sin3e)3 '

OU

(7) 31ogsin30 — îlogsinaô — logsinO — o,3oio3oo = o.

On en déduit immédiatement que 6 est compris entre 0° et 60". Après quelques essais, on trouve 33° et 34^ comme limites de 8.