GHAPITBB XI. — FRACTIONS CONTINUES

seul. Nous appellerons ce système de nombres un système complet de restes par rapport au module n.

Le nombre n étant supposé impair, un pareil système de restes est formé par les nombres

Les nombres (/•) s'appellent les restes ou résidus minima, les nombres ( p) s'appellent les restes minima absolus.

Supposons que s prenne toutes les valeurs appartenant à un système complet de restes par rapport au module n ; soit a un nombre premier avec n\ les valeurs de as forment aussi un système complet de restes par rapport au même module. Si, en effet, deux de ces valeurs, as^ et «52, donnaient le même reste, leur différence a{s\ — 52) serait divisible par n; comme a est premier avec n, s^ — 52 devrait être divisible par n, ce qui est impossible, puisque 5| et 52 sont deux nombres appartenant à un même système complet de restes.

Pour continuer la division indiquée dans (i), désignons m, /i, r par m, m^ , m2 ; par a^ le quotient de la division de m^ par m^i etc. ; écrivons, en outre, a^ au lieu de a; on trouve alors la suite des égalités

cette opération pourra être continuée, tant qu'il n'y aura pas de* reste nul, c'est-à-dire tant qu'aucune division ne se fait exactement. Comme, d'autre part, les nombres /W|, m^^ m^^ . . . vont en décroissant, sont positifs et entiers, leur nombre est limité; au bout d'un certain nombre d'opérations, on tombe donc sur un reste nul. Si my est exactement divisible par /Wv^.«, ce nombre my^i est le plus grand commun diviseur de m et mt.

En effet, en vertu des équations (3), /Wy+i est diviseur de tous les nombres m^ qui le précèdent, et réciproquement, tout diviseur commun à deux nombres m^ consécutifs est diviseur de tous les suivants, par suite aussi de mv^.i .

4a4 LITRE II. — LBS RACmES.

Si donc m et m^ sont premiers entre eux, c'est-à-dire n'ont d'autre diviseur commun que l'unité, mv+< est égal à i; on pourra alors mettre les équations (3) sous la forme

( 4 ) — = do H > — ^= a\-\ > . • . * = Ov— 1 H •

^ rrix mx nif ntt niy ni'^

On en déduit le développement de la fraction ou — en fraclion continue. On obtient successivement

(5) — =aoH >

^ ^ n mx

et ûnalemenl

n I ai H

(6) — =aoH

expressions que, pour abréger, on représente par

m / tnx\

Voici quelques remarques à ce sujet :

Toute fraction positive et rationnelle peut être mise sous la

forme — » m et /i étant premiers entre eux. Par suite, chacune de

ces fractions peut être développée en fraction continue. Cette propriété est encore vraie pour les fractions négatives, en admettant pour ao des valeurs négatives; mais, dans ce cas, les nombres a|, a^^ . . ., «v-o '^v sont toujours positifs. Ces nombres sont déterminés sans ambiguïté.