CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

Diaprés ce qui précède, le dernier dénomiDateur /tIv est plus grand que i , puisque nous avons supposé que le reste mv^.i est égal à I . Par conséquent, en désignant par a^, un nombre entier et positif, on pourra poser

ou

nous obtenons ainsi les deux développements (8) — = (aoj «1» «î» . • M ^v)

ou

Donc :

Toute fraction dont les deux termes sont rationnels peut être mise sous la forme d^une fraction continue ayant à volonté un nombre pair ou un nombre impair de dénominateurs.

Les nombres — ^-9 — ^^ — > ... qui se présentent dans les for-

/?ij wj nii^ ^ ^

mules (5) s'appellent les quotients complets, les nombres «o, ûTi,

a2, ... les quotients incomplets.

Lorsqu'on remplace m par un nombre /n', qui lui est congru

suivant le module n, les deux fractions — et — ne diffèrent que

d'un nombre entier; par suite, leurs développements en fraction continue ne diffèrent que par le premier terme a©.

§ 121.* — Développement des nombres irrationnels

en fractions continues.

X étant un nombre irrationnel réel, il existe un entier ao, et un

seul, tel que x soit compris entre a© et a© -h i ; «0 est positif quand

X est plus grand que i, nui quand x est plus petit que i . Si donc

on pose

4^6 LimB II. — LES RACINES.

x^ est supérieur à i; par suite, le nombre entier ai immédiatement inférieur à x^ est positif. Posons de même

a?! = ai H >

a7j = aj H j

X|, .r2, . . ., x„ sont des nombres non entiers, plus grands que i; ai, «2? ...,«/! sont des nombres positifs entiers. En employant les notations du paragraphe précédent, on peut donc écrire

Lorsque ^ est irrationnel, ce développement peut se continuer indéfiniment^ n peut être pris aussi grand qu'on le veut. Il suiBt, pour continuer, de poser

^rt = «rt -t-

Les nombres «o» «m ^2> • • • ? <^«-< s'appellent encore les quotients incomplets, oT/i le quotient complet.

Le développement des nombres rationnels en fraction continue est un cas particulier du précédent.

§ 125. — Les réduites ou fractions convergentes. Si Ton transforme en fraction ordinaire la fraction continue

dans laquelle on peut considérer Xn comme une variable, on trouve au numérateur et au dénominateur une fonction linéaire de x„ ; la valeur de x est donc de la forme

Prt» P«-i j Q/iî Qrt-i étant des fonctions rationnelles et entières des