CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

nombres Uq, a« , «2» • • • * ^n-i • On le vérifie aisément par un calcul direct pour n = i, 2, ... ; on a, en effet,

= ao-\-

Xi Xi

I (ao^i-f- i)a7î-h «0

1 aiXi-hi

Admettons alors la formule (2) pour la valeur n, et posons

il vient

(P„an -4- P„-i)arnH-l -H Pii (Q/iûf«+ Q«,)a7„^-,-^ Q„

Cef/e formule se déduit de la formule (2) par le changement de n en n-i- i, si nous adoptons la loi de formation suivante :

.„> j P/i-i-l = «nP/i-+- Pn-li

Ces formules détermineront entièrement P„ et Q,i pour n = 2, 3, 4y • • -) si nous y joignons les équations de condition

Les fractions

Po Pi Pt

Q"o' Ô;' Qt' '"'

dont la première, ayant pour dénominateur zéro, n'est mise là que pour la forme, s'appellent les réduites de lei fraction continue (i); P/, et Q;i sont le numérateur et le dénominateur de la n**™* réduite.

Les formules (3) montrent que, puisque les nombres a/ sont entiers, il en est de même de Pn ^l de Qi,. Si les quotients incomplets sont positifs à partir de a^ les dénominateurs Q|, Q2, Q3, . . . sont tous positifs, et augmentent avec n; comme ce sont des nombres entiers, ils augmentent au delà de toute limite. Dans le cas particulier où û| = i, on a

Qi=Q«=i;

4^8 LITIE II. — LES ■ACI.XBS.

les dénominateurs ne commencent à augmenter qu'à partir de Qj. On peut donc énoncer le théorème suivant :

II. Q/f et Qii i étant les dénominateurs de deux réduites successives, on a

o^Qn-i^Q», Q«=« pour/i = x;

r égalité avec la limite inférieure o a lieu pour /i = i ; l'égalité avec la limite supérieure Q„ n!a lieu que pour /i = 2.

Les quantités P|, P2« -•• sont toutes positives, lorsque a^ esi positif; toutes négatives dans le cas contraire, à l'exception peutêtre de P2= a^a^ -h i, qui peut être nul. Les dénominateurs Q„ sont indépendants de a^) voici comment on peut reconnaître de quelle façon les numérateurs P^ en dépendent. . Supposons donnée la suite des nombres

ciq, ai, CL\j • • • , et prenons la formule de récurrence

Prenons pour T,i les deux fonctions particulières Q/, et R«, déterminées par les conditions initiales

!Ro = I » Ri = o, Q. = o, Qi = I ;

la solution générale de l'équation (5) est alors de la forme

(7) T„=ToR«-t-T,Q„;

d'où, en particulier,

(H) P«=K«-i-aoQ».

Prenons deux solutions T^ et S/i de (5); on aura

Sn4-i =^ ^/»S/j -}- S/i—i ; d'où, par élimination de an,

T/f-»-iSrt — T;|S,i4-i = — (TnS„i — T,i i b/i);