CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES. ^2g
OU, en posant ii vient
En prenant ï,i=R;i et S„=Qn, 'es équations (6) montrent que Ao= i; par suite, d'après (9), on aura
si l'on change /i en n — ï, cette formule peut s'écrire (10) R« Q,.-i — Rn-i Q„ = (- 1 )«,
Appliquons ceci aux deux fondions T,, et Su, définies par
T/i = To Rrt-t- Ti Qrt,
il vient
et, en particulier,
(II) P«Q„-l-P«-lQa =(-!)«.
Cetle formule, dont nous ferons mainte application dans la suite, montre que les nombres Pn et Q^ sont premiers entre eux; les réduites successives sont des fractions irréductibles.
Si la fraction continue est limitée, le dernier quotient complet Xfi i = a„i est un nombre entier; la dernière réduite est
Q/i Q/i-irt/i-i-i-Q/i-î'
la formule (2) montre alors que la dernière réduite est précisément la valeur de la fraction continue.
§ 126. — Analyse indéterminée dn premier degré.
Les dernières formules établies permettent de résoudre un problème qui se présente dans beaucoup d'applications :
oLCt^ étant deux nombres entiers, premiers entre eux, trou-
43o LIVRE II. — LES RACINES.
ver deux autres entiers x et y, vérifiant V équation
(i) a^ — Pa7 = i.
Si ce problème est possible, il admet une infinité de solutions qui se déduisent toutes de l'une d'entre elles. Soit, en effet, ^o^^o une solution; on aura
(2) a^o— Paro=i;
d'où, en soustrayant (1) et (2) membre à membre,
comme a et ^ sont premiers entre eux, on en conclut que or — x^ est divisible par a; 'si donc h est un nombre entier arbitraire, on pourra poser
Ces formules donnent toutes les solutions de T équation (i).
Il suffit donc de trouver une seule solution de (i); on l'obtient de la manière suivante.
Supposons p positif, ce qui ne restreint pas essentiellement la généralité du raisonnement, puisqu'on peut changer a: en — x\
développons (§ 123) la fraction ^ en fraclion continue
g — ( Cto, ^1. «t, • . . , Ûtn-i ;•
Formons ses réduites successives :
Pq Pt P/i-i P« .
Qo' Q,' •"' Q„-/ Q„'
la dernière n'est autre que „» de sorte que
Ces deux fractions étant irréductibles, il en résulte
