CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

D'autre part, on a vu (§ 125) que

P«Q/,-i-Pn-iQ» = (-!)«; il eu résulte que les nombres

sont des nombres entiers, vérifiant Téquation (i)^ le problème posé est donc entièrement résolu.

Le calcul est relativement simple, lorsque les nombres donnés ne sont pas trop considérables.

Prenons, par exemple,

a = 24335, p = 3588, on aura d'abord

■35gg- =(6,1,3,1,1,2,6,2,1,1,4);

d'où les réduites

464 781 5488 Dans le cas actuel, /i = 1 1 ; on aura donc

Ce sont là les nombres de plus petite valeur absolue, vérifiant l'équation (i). On obtient la plus petite solution positive, en ajoutant a et ^ à ces nombres, ce qui donne

On peut ramener au cas précédent la solution en nombres entiers de l'équation plus générale

(4) ar~par = Y.

Si l'équation (4) est possible, tout diviseur commun de a et ^ est aussi diviseur de y. On pourra supprimer par division ces diviseurs communs et par suite faire l'hypothèse que a et P sont premiers entre eux.

Comme précédemment, on montrera que toutes les solutions de (4) se déduisent de Tune d'elles par les formules

h étant un entier arbitraire.

Posons maintenant a: =: yÇ, y = y^i ; l'équation (4) devient

ai] — pÇ = i;

on est ramené à une équation de la forme (i).

Si l'on donne en outre une condition permettant de déterminera, la solution est déterminée; on peut demander, par exemple, que y soit compris entre o et p, en pouvant devenir égal à l'une de ces limites.

Résumons ces propositions dans le théorème suivant :