III. L'équation indéterminée
dans laquelle a, p, y sont des nombres entiers, ol et ^ étant premiers entre eux, admet une solution en nombres entiers et une seule, lorsque y doit vérifier la condition
ou
D'après la remarque faite ci-dessus, l'équation (4) admet toujours des solutions lorsque y est divisible par le plus grand commun diviseur de a et p. En particulier, on peut énoncer la proposition suivante :
Le plus grand commun diviseur 8 de deux nombres cl et ^ peut être mis sous la forme
X et y étant entiers.
Le théorème III peut se généraliser de la manière suivante :
