CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES
Sî Ton pose f{x) = x^y on trouve par un calcul analogue
F(.)=[îi^]'.
Donc la somme des cubes des m premiers nombres est égal au carré du m**"* nombre triangulaire.
§ 12. — Développement de la puissance n d'un polynôme.
On a trouvé au § 8 le développement de la puissance n d'un binôme, sous la forme
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons de valeurs positives et entières des nombres a et P, qui vérifient Téquation
Par induction, on adoptera pour le développement de la puissance n d'un polynôme, la formule
(3) (a:+jr^^^...)n = n(n) 2 uif)7i?')iu\).7.'
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons de valeurs positives et entières des nombres a, p, y, . . • qui vérifient la condition
Pour démontrer l'exactitude de celte formule, nous allons supposer qu'elle est vraie pour un polynôme de n — i termes; elle l'est d'ailleurs pour un binôme.
Posons donc
(5) a=:^-t-ZH-...,
appliquons la formule (i) au binôme a: + m; il vient alors
iïKTiiTvr
SOUS la condition
Maïs, par hypothèse,
avec
En remplaçant u^ par celte valeur, la formule (6) prend la forme (3) et la condition (i) devient identique à (4). Les coefficients
, X pu n(/i)
^ ^ *'P'^'-" U(a)n(ji)Il(Y)...
sont des nombres entiers, diaprés leur signification même. Par exemple, on trouve
( (x + y '\' zy = T'-f-^' -t- 5* -h3a:'^-+- Zxy^-\- Sa?** ( -h 3 xz^ -t- 3j^' z -h 3j^z* H- ^xyz.
Lorsque n est un nombre premier, le numérateur de la formule (10) est divisible par n, tandis que le dénominateur n(a)n(P) n(Y). . . ne contient le facteur n que lorsqu'un des nombres a, ^, y, . . . est égal à /i ; les autres sont alors nuls. 11 en résulte que les cofficients PJx'Ipj du développement de la puissance n d'un polynôme sont tous divisibles par n, à l'exception des coefficients de x"^y"^ 5", . . . qui sont égaux à l'unité.
Nous ferons ultérieurement un usage fréquent de cette importante propriété.
§ 13. — Fonctions dérivées.
Soit (1) /(^) = «o^'*H- aiar^-ï-t- a%x'^-^-\-. ..-\-an
une fonction rationnelle et entière d'ordre n.
Remplaçons dans cette fonction x par x '\- y^ et développons chaque terme par la formule du binôme; nous pourrons ordonner
CHAPITEB I. — PONCTIONS RATIONNELLES. 67
le résultat par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de y. Le plus haut exposant de y est n\ le terme indépendant à^y est la fonction /(a;) elle-même, ainsi qu'on le reconnaît en faisant ^ = o. Désignons les autres coefficients par
f..^. /•(^) r(=o) J^''^' n(i7' ii(3y' ■■■'
il vient
Les fonctions /'(^),/"(x),/'"(x), ... s'appellent respectivement les dérivées première, seconde, troisième de f{x). Ce sont des fonctions entières de x ; f^^\x) est au plus du degré n — v; car, dans aucun terme, la somme des exposants de x et^ ne peut dépasser n,
La dérivée première est donc le coefficient de la première puissance dey^ dans le développement def{x '\-y)par rapport aux puissances ascendantes dey.
On obtient ainsi
(3) /'(ar) = /iaoa:'»-»-h (n — ï)aia?'»-*-h (n — 2) ajor^-'-H
Démontrons une proposition fondamentale sur les fonctions dérivées. Changeons dans la formule (2) x en x -{- z^ ou ^ en y-\- z. Il vient
Soit/^^»i^^(ar) la dérivée d'ordre [x de /^^^{x); la formule (2) montre alors que
la formule du binôme donne, d'autre part,
Remplaçons ces quanlilés par leurs valeurs dans la formule (4); nous aurons
Cette dernière sommation doit être étendue à tous les couples de nombres positifs p et y dont la somme ne dépasse pas n. Mais les exposants v et |jl dans le premier membre sont assujettis à prendre les mêmes valeurs; donc, en égalant les coefficients des termes semblables, il vient
(8) /(v,ii)(:r)=/(v+ïi)(ar);
ce qui s'énonce.
La dérivée d^ ordre [jl de la dérivée d'ordre v est la dérivée d'ordre [jl-|-v rfe la fonction proposée.
On obtient donc toutes les dérivées d'ordre supérieur, en formant d'après la formule (3) les dérivées premières des dérivées successives; on trouve ainsi
f'{x) = naoXf^-^-h (n — i)ai:r'*-*-+- (n — i) atx^-^ -\- {n — 3) a3a7'*-*H-..., /"{x) = nin — i) flroar'»-*-4- (/i — i)(/i — 2)aia7«-5-+- (n — 2) (n — 3) aja:'»-* -h.,
Ces dérivées prennent une forme un peu plus simple, en employant une autre notation souvent usitée, d'ailleurs presque indispensable dans certains cas, et que nous allons indiquer en terminant. Par suite de l'indétermination des coefficients «o, «i, «2, ..., ««, nous ne restreignons en rien la généralité, en écrivant une fonction rationnelle et entière d'ordre n sous la forme
ou bien
('0 /(a?) = aoa?'*-h nai:r'*-iH ^ — — -a^x^^^-h
Une fonction /(x), écrite sous cette forme, sera dite affectée des coefficients binomiaux.
