CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

sans dis^iseur commun, m un nombre arbitraire, on peut toujours déterminer des entiers X\^ ^Tj, ^3, . . ., tels que Con ait

Si le second membre ne renferme que deux termes, on retombe sur le théorème III. Supposons le théorème démontré pour le cas où le second membre renferme n — i termes a2^2, «3^:3, . . .; en appelant 8 le plus grand commun diviseur de a2, as, . . ., on pourra vérifier en nombres entiers les deux égalités

L'équation (5) est alors satisfaite par les entiers

Le problème résolu parle théorème III se formule de la manière suivante dans la théorie des nombres :

V. a, p, Y étant des nombres donnés, il s'agit de trouver un entier y^ vérifiant lacongruence

Ce problème a toujours une solution lorsque y est divisible par le plus grand commun diviseur de ol et de p.

Celte dernière proposition conduit à la solution du problème suivant :

VI. On donne une suite de nombres positifs et entiers m\ , m^, /Ws, . ..^premiers entre eux deux à deux. Il s'agit de déterminer un entier z, qui, divisé par m^^ //i2> ^^3, ,, ,^ fournit des restes donnés rj, r2, rs, —

Ce problème est toujours possible, et se résout de la manière

suivante :

Soit m = m^ /W2 /Wa . . . le produit des nombres donnés; on pourra

poser

m = mi «1 = mj a^ = nti «3 = ... ;

d'après l'hypothèse, le nombre aj = /7Î2//Î3 . . . est premier avec 7??^ ;

de même a2 est premier avec mj, etc. Déterminons, diaprés V, les nombres X\^ x^y x%^ . . . par les congruences

aiâTj ^ ri(modmi), a^X}^ rs(modmt),

comme a2y <xs, ... sont divisibles par mi, mj, . . . , on trouve que le nombre cherché est de la forme

X = ai a^i -i- ai a^j -i- . . . ;

on peut d^ailleurs l'augmenter d'un multiple quelconque de m.

Les équations considérées dans ce paragraphe sont désignées sous le nom à! équations de Diophantei elles contiennent un nombre d'inconnues supérieur à celui qu'on peut en tirer d'après les règles de l'Algèbre; mais les valeurs de ces inconnues sont assujetties à être des nombres entiers.

§ 127. — Convergence des réduites.

Supposons que la suite des nombres ai, a^^ 03, . . . soit illimitée; formons la diflTérence de deux réduites consécutives

, .Pn Pn-1 f-O»

Celte différence est positive ou négative, suivant que n est pair ou impair; elle tend vers zéro, lorsque n croît au-delà de toute limite. Formons encore, à l'aide de (i), la différence

Pn [v, ^ r-!>^ (-1)"^^ ^ (-0" / j i\

Comme Q/i 2 est inférieur à Q^, il en résulte que cette différence est positive ou négative, suivant que n est pair ou impair. On en conclut que la série des réduites d'indice pair

... p. Pv p.

est décroissante; que la série des réduites d'indice impair

Pi P.1

est croissante.