CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

D'autre part (§ 125), on sait que

Q«^it-+- Q/t-t donc

Q«) Q«-i)^/i sont positifs^ donc, tous les nombres de la suite (3) sont plus grands que a:, tous ceux de la suite (4) plus petits que :r. L'entier n croissant indéfiniment, la différence (5) tend vers %éro ; comme Xn est plus grand que Um on aura

Q«a:n-*-Q«-i>Q/f-»-i; par suite, la différence (5) est inférieure en valeur absolue à

et a fortiori plus petite que tt^*

Les nombres de la suite (3) tendent donc vers leur limite x en décroissant, les nombres de la suite (4) en croissant. La formule (6) donne une limite supérieure de l'erreur commise en rem-

plaçant le nombre x par la réduite j^-

Les réduites fournissent donc des valeurs approchées d^un nombre irrationnel sous forme de fractions à termes rationnels.

•Chacune de ces réduites approche de la valeur x plus que toute fraction irréductible ayant des termes plus simples; c'est ce qui résulte du théorème suivant :

VIL On ne peut insérer entre les deux réduites ~ et 7^^^

une fraction à termes rationnels, dont le dénominateur soit inférieur ou égal à Q„.

Soit ^ une fraction à termes rationnels comprise entre -pA et

pr^—i; la différence

Pn P/»-i

436 LIVRE II. — LES RàGL*«ES.

est supérieure en valeur absolue à

et de même signe que cette dernière; donc

ou bien, en multipliant les deux membres par NQ„..| d'après (i),

^ >(-i)''(MQ,.,-NP„,).

Comme le second membre est un entier au moins égal à i , on a

certainement

§ 128. — Nombres équivalents.

Les fractions continues nous conduisent à la considération d*un genre particulier de substitutions linéaires dont Timportance est considérable en Algèbre et en particulier dans la théorie des nombres; nous allons les examiner d*un peu plus près.

Soient x ely deux nombres, ou deux grandeurs variables, liés par la relation

a, ^, y, 8 sont des nombres entiers vérifiant la relation

(o.) ao — PY = e=ifci;

X et y sont dits équivalents (*).

Ils sont proprement ou improprement équivalents selon que £ est égal à + 1 ou à — i. La relation est d'ailleurs réciproque; car de l'équation (i) on tire

(3) r^IZ^zl...

(•) Voir Lettre de M. Dedekind à M. Borchardt Sur la théorie des fonctions modulaires elliptiques {Journal de Crelle^ t. 83; 1877).