II) SS'=S

Les formules (6) indiquent la règle à suivre pour former la substitution composée de deux substitutions données. On peut la déduire de la règle de la multiplication de deux déterminants, en observant que dans le premier facteur il faut employer les lignes, dans le second, les colonnes; c'est ce que montrent les formules (6).

De même que l'on compose deux substitutions, ou peut en corn- .poser plusieurs, ce qui donne *

Dans la formation de cette substitution composée, il n'est pas permis, en général du moins, d'échanger entre elles les composantes; mais on peut à volonté réunir deux substitutions successives en une seule; en d'autres termes, l'opération n'est pas co/nmutatiçe, mais elle est associative.

En effet, exprimons x en fonction de :ri, Xt en fonction de X2j X2 en fonction de x^ ; l'expression de x en fonction de Xz peut se trouver ou bien en remplaçant dans la valeur de x la quantité j?i par sa valeur en fonction de Xn, puis X2 par sa valeur en fonction de ^3, ou bien en cherchant d'abord la valeur de x^ en fonction de Xi et portant ensuite cette quantité dans la valeur de x.

D'après l'équation (8), une équivalence composée est propre ou impropre, suivant qu'on trouve parmi les composantes un nombre pair ou un nombre impair d'équivalences impropres.

Composons les deux substitutions

\Y, 0/ V— êY, ea /

Quelle que soit la substitution par laquelle on commence, le résultat est la substitution

D'après l'équation (i), c'est précisément la substitution

elle ne produit aucun changement, et s'appelle la substitution identique, ou substitution unité. D'après cela, les deux substitu-