CD

sont deux substitutions linéaires. Par suite.

GJ)

est aussi une substitution linéaire, lelle que

Il en résulte

/n = am'-h p/i', n = ^m'-h^n';

d'où

c'est ce qu'il fallait démontrer. L'équivalence sera propre ou im propre, suivant qu'on a

8 = 8' ou 8 = — t'.

Chaque nombre est improprement équivalent à celui qui lui est

44o ' LIVRE n. — LES RACINES.

égal et de signe contraire et à celui dont il est l'inverse; on a, en effet,

§ 129. — Développement de nombres équivalents

en fractions continues.

% Deux nombres étant équivalents, si l'un est irrationnel, il en est

de même de l'autre; si l'un est réel, il en est de même de l'autre.

Nous ferons ces deux hypothèses, c'est-à-dire que, dans la formule

(i) y= — l^, ao — Py = 5»

^ ^ -^X -ho ri'

nous supposerons x réel et irrationnel. Cherchons de quelle manière on peut déduire le développement de^en fraction continue de ce même développement supposé fait pour x. Soit

(2) 07 = (ao, «1, aj, . . ., a«i, a?rt)

le développement de x, arrêté au quotient complet x,i ; n est pour rinstant indéterminé.

On en déduit

Portons cette valeur de x dans la formule (i); il vient

en posant [§ 128 (10), (6), ( 7)]

( R„=aP„+PQ„, R„, = aP„j-i-PQ„i,

^^ 1 S„ = -rP„+8Q„, S„j = -rP„-j + 8Q,,;

d'où

En écrivant S^ sous la forme