CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES
on en déduit que S„ finit par acquérir et conserver le signe de Y^ + 5, pour des valeurs suffisamment grandes de /i, puisque
^ a pour limite x quand n croît indéfiniment. Comme x est irra-
tionnel par hypothèse, cette quantité n^est pas nulle; nous la supposerons positive. Si elle était négative, il suffirait de changer simultanément le signe des quatre nombres a, p, y, 8, ce qui ne change rien à Téquation (i).
S/2 est donc positif pour des valeurs suffisamment grandes de n. Des formules (5), on déduit (§ 125)
On en conclut que, si n est assez grand pour que S„2 et toutes les quantités S d'indice supérieur soient positives, Sn croît avec /i; donc
Développons maintenant le nombre rationnel ^ en une fraction
'* continue limitée
(8) ^- = (6oî ^!ï ^2) • •., ^//ï-l);
R' désignons par ^ Pavant-dernière réduite, de sorte que l'on a
D'après le théorème I du § 123, on peut supposer m pair ou impair; nous ferons en sorte que
En outre (§ 125, II), on sait que
on n'a d'ailleurs S'=: o que pour m=^ i, et l'on n'a.S,/= S' que pour /w= 2 et 6| = I, c'est-à-dire pour S„=: i ; d'après l'équation (7), il suffit de prendre n suffisamment grand pour que ce fait ne se présente pas.
D'après le théorème III du § 126, les nombres S' et R' sont entièrement déterminés par les conditions (9) et (10); d'après les
équations (6) et (7), R//i et S,i i vérifient ces mêmes conditions; il en résulte que
Il s'ensuit aussi que la fraction continue
terminée par le quotient complet Xni a pour valeur
elle est donc égale à y.
Si maintenant on développe Xn en fraction continue
3?ft = (^n» ^/i+l, ^/H-l} •••)»
on conclut de (2) et de (i i) les égalités
a? = (ao, «1, aj, ...,a/i i, a/,, a^-t-i) ...)> y = (^Oî ^1» ^2i • • • î l>m-ïi ^/») ^/i+iî • • •)»
d'où cette proposition :
IX. Si Von développe deux nombres équivalents en fractions continues, ces développements sont identiques à partir d^un certain quotient incomplet.
On peut encore ajouter ceci. Lorsque l'équivalence est propre (e = H- i), les nombres de quotients incomplets qui précèdent les termes identiques sont de même parité dans les deux développements; lorsque l'équivalence est impropre, ces nombres sont de parit^ différente.
On voit aisément que la réciproque du théorème VI est vraie. Si les termes de deux fractions continues coïncident à partir d'un certain rang on peut les écrire de telle sorte qu'elles se terminent par le même quotient complet. Or, la valeur d'une fraction continue est équivalente à chacun des quotients complets [§ lâo, (2)] \ Aonc deux fractions continues terminées par le même quotient complet sont équivalentes.
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§ 130. — Nombres irrationnels quadratiques.
Lorsqu'on emploie le développement en fraction continue à la détermination des racines d*une équation du second degré, on trouve des relations simples et élégantes que nous allons établir.
Les racines d'une équation du second degré à coefficients entiers sont de la forme
(r) co = ar-H7v^5,
X, y et d étant des nombres rationnels, entiers ou fractionnaires. Si </ a un dénominateur, il suffit de le multiplier par ce dénominateur et de faire sortir le carré du dénominateur du radical; si d est divisible par un carré parfait, on pourra de même faire sortir ce carré ; on peut donc supposer que rf est un nombre entier dont aucun dis^iseur n'est carré par/ait. Nous supposerons d différent de I, sans quoi to serait rationnel; selon que d est positif ou négatif, to est réel ou imaginaire.
En changeant le signe du radical, on obtient le nombre
(2) (o'=ar— ^/5,
qui est dit conjugué de co; le produit des deux nombres w et co'
est appelé la norme de w (et de to'), La norme d^un produit de deux facteurs irrationnels quadratiques est égale au produit des normes de ces facteurs,
La norme d'un nombre imaginaire est toujours positive; la norme d'une irrationnelle quadratique peut être positive ou négative.
Les nombres co et (ù' sont racines d^une équation du second degré à coefficients rationnels
(3) o)*— aarco -har* — ^'û? = o:
pour rendre tous les coefficients entiers, il suffît de poser
(4) x^—dy^ = j 2a?=->
a, 6, c étant des nombres entiers premiers entre eux; Inéquation (3) devient alors
(5) CCI)' = a -H 6 w;
c'est une équation primaire à coefficients entiers.
Les nombres a, 6, c sont déterminés par les équations (4) ; ^^"^ signe commun reste indéterminé.
Le discriminant de Téquation (5) est
(6) D =6«-h4ac = 4c«^»c?;
nous l'appellerons le discriminant de V irrationnelle co. D est donc un nombre entier de même signe que d] je dis qu'il est divisible par d. En effet, soit p un diviseur premier de d\ il n'entre pas dans d avec un exposant supérieur à i ; donc p ne peut diviser le dénominateur de 2C^; par suite, il divise nécessairement D. Il
en résulte que 2cyesi forcément un nombre entier, et -r un carré
parfait. Pour déterminer le signe commun de a, 6, c, nous supposerons que le nombre non nul 2cy est positif; c et y sont donc de même signe. En posant
/d = icysjd^
^O et \fd seront tous deux positifs, ou imaginaires positifs; il vient alors, d'après (4) et (6),
(7) ù) = , to'= ,
ou, ce qui revient au même,
(8) Ci) = — — > (0 =
Donc :
Le système a, 6, c est déterminé sans ambiguïté par w; et réciproquement co est déterminé sans ambiguïté par a, 6, c.
Pour exprimer cette relation, posons
le nombre conjugué w' devra être désigné par
