CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

Un carré pair est divisible par 4 ; un carré impair divisé par 4 donne le reste i ; il résulte donc de (6) que l'on aura

(il) Dso ou ^ï (mod 4)'

Cherchons enfin comment varient les nombres a, ft, c lorsqu'on passe de 0) à un nom'bre équivalent cOf . Soit donc

ao) -{- p So), — 8 :> Q -

(i2) ù)i= ^1 <o = , aô — PY = ô.

^ ^ yco -+- 0 — ytoi -f- a ^ ^

Si Ton pose

on déduit de (12), en rendant le dénominateur rationne),

Y*(ir» — j^*t/)-H 2y8:c-i- 8*'

__ oyCa:* — 7*rf) -f- (a8 -4- 8y)j7 -4- p8 ^

si (0| vérifie l'équation'du second degré (i5) CitoJ = «1 H- ^iWi,

il vient, d'après (12) et (5),

Cl ~~ — a Y* -4- 6 Y^ -h c 8*

«1 __ — aa*-h ftap -f- cp*^ Ct ~" — aY*-t- ^Yo -H cô*'

enfin, d'après (4) et (i3),

Posons maintenant

— tai = — aa* H-ôa^ -f-cP',

ibi = — 2aaY-f- 6(a8 -{- Py) -*~ 20^8, ec| = — «Y* -f- ^Y^ -i-c8*;

il en résulte

(17) yc=:yict;

y^ C| est doiic positif.

44^ LITIE II. — LIS RACDIBS.

En résolvant les équations (i6), on trouve

(ta = ato^ -f-6|^o — <?!?'»

f — £C = aiY* -H^iotY — cix*;

on en conclut que les nombres a^, bf, Ct n'ont pas de diviseur commun. Par un calcul simple, ou par Temploi de la règle de multiplication des déterminants, on trouve

Des équations (17) et (i 8) on conclut que les nombres ai, 6|, C| ont pour (U| la même signiGcation que a, 6, c pour cd; on doit donc poser

(20) co, = — -— =(«!, 6,, Cl).

L^équation (19) prouve que :

Deux irrationnelles équivalentes ont non seulement la même irrationnalité, mais aussi le même discriminant.

§131. — Nombres réduits à discriminant négatif.

Tout ce que nous venons de dire s'applique indislinclemenl aux irrationnelles quadratiques réelles ou imaginaires, à discriminant positif ou négatif. Il y a maintenant lieu de distinguer les deux cas; nous commencerons par celui où. le discriminant est négatif.

Considérons le nombre imaginaire

Ç et 7| étant réels; il suffit de prendre l'un des deux nombres conjugués Ç + r/;, \ — i'r\. Nous supposerons y^ positif et nous énoncerons la définition suivante :

Un nombre Ç H- jt), dans lequel le coefficient de i est positif , est dit réduit, lorsque \etr[ vérifient les conditions