CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

Ç et T^ élanl les coordonnées rectangulaires d'un point d'un plan, tout nombre o) est représenté par un point de ce plan; les affîxes

Fig. 26.

des nombres réduits sont situés dans la partie ombrée {/ig- 26), en y comprenant les limites de cette région que nous appellerons le champ principal.

Les conditions (2) montrent que

il est aisé de le vérifier sur la figure.

Lorsqu'on passe d'un nombre (o à un nombre équivalent (0|, la formule (12) du paragraphe précédent donne

(i\ c = («S-^P)-^^'«^i ^ I («s -^ B)(y; + 8) -4- «Y^'] -^ i^-Tj

Cette formule montre que ln^ est de même signe que t) ou de signe contraire, suivant que c est égal à +1 ou à — 1 , c'est-à-dire suivant que l'équivalence est propre ou impropre.

Si donc on se borne aux nombres, dans lesquels le coefficient de i est positif, l'équivalence propre est la seule à considérer. Voici un théorème fondamental :

L Toute irrationnelle quadratique imaginaire, dans laquelle le coefficient de i est positif, est équivalente à un nombre réduit.

Soit a le nombre entier le plus voisin de Ç ; co — a vérifiera la première des conditions (2),

liH UTBx n. — us

Si la quaDlilé

( 5 f r* = « ; — ai' — T^* = to — a ai' — ai

e^l supérieure ou égale à i . le nombre <i> — 7, équivalent à Ci», est le nombre réduit cherché. S*il nVn n'est pas ainsi, développons <i> en fraction continue, en posant

(€,) to= a -;

o>| = Ç| -ï- 17.1 sera aussi équivalent à g>.

Opérons sur cof comme sur co; si le nombre co, — z, n'est pas un nombre réduit, posons

et ainsi de suite.

Considérons la suite des quantités analogues à (3),

Il reste à montrer qu'après un nombre fini d'opérations, on obtient une quantité r^ supérieure ou égale à i. D'après l'équation (6), on a

d'où, en comparant les parties imaginaires des deux membres de (C),

'Il-

On trouve ainsi la suite des équations

D'autre part, on a et, par suite [§ 130 (6)],

C étant un nombre entier. Des nombres équivalents ayant même