CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

discriminant, il en résulte

1711= y ITt^z^z , . . .,

C|, C2) • • • étant des nombres entiers et positifs. L'équation (8) montre alors que

(9) cx^r'^c, c,= rîci, C3=r5c,, ...;

si les nombres z*^, rj, r^, . . . sont plus petits que i, il en résulte

(10) c > Cl > c,> . . . > Cv+i;

mais il n'y a qu'un nombre limité d'entiers inférieurs à c ; cette suite ne peut donc être indéGnie^ notre proposition est donc démontrée.

Les nombres réduits, dont les affixes sont sur les limites mêmes du champ principal, sont équivalents deux à deux, savoir

(a) o) = — j '-+- ttj et 0)1 = o) -h I = J -h tr,

(ce sont les points a et a' de la figure);

(6) ta =^ — \ -\- i7\ et coi = ={-1-4*7^,

à condition que $=^-1-7^^=1. (Ce sont les points b et b' de la figure.)

Ces points exceptés, on peut démontrer le théorème suivant :

IL A V exception des points (a) et(b), deux nombres réduits ne sont jamais équivalents.

Soient

(11) (|> = $-+-T,t, a>i = {,H-Tii4

deux nombres réduits non identiques; supposons

ce qui ne restreint pas la généralité du raisonnement; la formule (4) donne alors

45o UTIE II. — LES RÂCI5SS.

el, par suite, d'après (12),

(14) (T5-+-o)*-HT*'i5^i;

en tenant compte de (3), il vient

(i3) ii^wih^:

Y étant entier, on ne peut faire que deux hypothèses :

(?) T = =ti.

Dans le cas (x), on a

et, par suite,

les équations (12) et (i3) montrent alors que 7|=7;i et, enEo, de (4)9 il résulte

Pour que ce résultat soit compatible avec les conditions (2), il faut, ou bien que ii = i, ^ = 0 et, par suite, que o), soit identique à (0 ; ou bien que p=±:i, Ç, = — Ç = dt.'; c'est le cas (a).

Dans le cas (P), où Ton suppose y = ±:i, l'équation (i4) donne

Donc, deux hypothèses possibles :

1*» 8 = 0, Py = — «» Ç*-+- >)*=!, ^ii^i);

donc, d'après (4),

l'hypothèse Çi = $ étant exclue, il faudra Ç| = — Ç, a = o ; c'est le cas d'exception (6).

2» 8=±i, ($±:i)«+7iîgi,

donc, d'après (3),

D'après les conditions (2), la valeur absolue de DZ: r est au