CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES. Sq
Cette forme se conserve dans les formules (9) qui s'écrivent alors
, ^ j'f'{x) = qoa?"-' 4- (n — I ) a^x^-^-^ (n - i) (n - 'i) ^^^^-z^,, . ,
Les seconds membres de ces formules sont aussi aflectës des coeffîcients binomiaux. Nous verrons plus tard tous les avantages de cette notation \ nous devons pourtant faire remarquer, dès à présent, que le choii de l'une ou l'autre notation n'est pas indifférent, et que la première mérite souvent la préférence. En particulier, il en est ainsi lorsque les coefficients sont des nombres, dont on étudie les relations mutuelles au point de vue de la théorie des nombres; il faut bien se rendre compte, que la présence des coefficients binomiaux introduit dans ces questions un élément numérique qui leur est étranger. Gauss a employé celte notation dans la théorie des formes quadratiques {Disquis, arithm.) en adoptant la forme ax^-h ibxy -j- cy^ ; elle a trouvé son entrée partout, et a produit dans la théorie des nombres une complication inutile et très regrettable.
§ U. — Dérivée d'un produit.
Les fonctions dérivées considérées précédemment ne sont autres que les quotients de différentielles, employés dans le Calcul infinitésimal. Dans le calcul actuel, où il ne s'agit que de fonctions rationnelles et entières, nous en avons acquis la notion sans nous aider du Calcul différentiel, par la simple considération des coefficients de y dans le développement de f{^-hy)' En désignant la dérivée d'ordre v de/par Dv/, il vient [formule (•2), § 13]
on en déduit immédiatement deux théorèmes fondamentaux, qui
6o LITRE I. — LES PRINCIPES.
s^expriment par les formules
(2) Dv(C/) = CDv/,
(3) Dv(/-H?) = Dv/-hDv<p,
C étant une constante, et (p une fonction rationnelle entière de x. Comme généralisation de la formule (2), cherchons la dérivée du produit/'^. Posons, pour abréger,
dans ces formules
Effectuons la multiplication, et cherchons le coefficient de y*\ il vient
Dv(/©)
ce qui s'écrit
(7) Dv(/?) = cpDv/-hGiDv-,/.Di^-hGÎDv-,/.D,<p-h...,
les coefficients Cy, CJ, . . . étant les coefficients binomiaux.
On peut former d'une façon analogue la dérivée d'un produit de plusieurs facteurs, en employant les coefGcients du développement d'un polynôme.
Formons d'après cela la dérivée première d'un produit de n facteurs; nous la désignerons par D au lieu de D|.
La formule (7) donne, pour un produit de deux facteurs,
En général, si l'on désigne les facteurs par e/|, U21 • • •? u,i'i et leurs dérivées par w'^, a'j, . . . , mJ,, on a
(8) D(ttiM2. . .M/,) = «iajj. . .a^-i- Mim'j. . .Wrt -h. . .-h UiUf.Uni ce qui s'écrit sous forme abrégée
( Ml Mj . . . M;, ) ICI UiU2,.,Un ^ Â^
D ( Ml Mj . . . M;, ) Y?* ï^ '^V
Mv
