CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES. ^^l

moins égale à ^ ; il. résulte donc de là que

Ç=-hî» V = "-f»

par suile, d'après (i3),

et, diaprés (2),

ce qui donne l'un ou l'autre des cas d'exception (a) et (6). Le second théorème est ainsi démontré.

En voici un troisième :

III. A un discriminant négatif donné D, il ne correspond qu'un nombre ^ni d'irrationnelles réduites.

D'après la représentation des irrationnelles [§ 130(7)], on a

y/D-hb . b v^ITd

œ= , ç = — ' TQ = ;

de l'inéquation (3) ïi^^I, il résulte que et, par suite.

ce qui montre bien que,D étant donné, il n'y a qu'un nombre fini de valeurs pour le nombre entier et positif c. D'autre part, la condition .

donne

Donc, à chaque valeur de c, il ne correspond qu'un nombre fini de valeurs pour b.

Si l'on réunit dans une même classe tous les nombres équivalents, on a donc démontré la proposition suivante :

IV. Les classes formées par les irrationnelles quadratiques ayant un discriminant donné sont en nombre ^ni.

§ 132. — Nombres réduits à discriminant positif.

Nous avons mainlenaul à examiner d^une façon analogue le cas de d positif, c'est-à-dire le cas des irrationnelles quadratiques réelles.

Le nombre co = x 4- j/- y/rf est dit réduit quand il satisfait aux conditions suivantes :

(o est positif et plus grand que i ; le nombre lo' conjugué de (ù est négatif et en valeur absolue plus petit que i.

Elles s'expriment par les inégalités

(i) o<iy^d — x<i\<,yyJd->rX,

Considérons encore ^,^ comme les coordonnées rectangulaires d'un point d'un pian; chaque point de ce plan sera l'afiixe d'un

Fig.