CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

grand que i. Reste à faire voir que, pour des valeurs sufOsamment grandes de /i, le nombre wj,, conjugué de (i)„, est négalif et, en valeur absolue, plus petit que i. Cela résulte des formules

suivantes.

^ désignant une réduite, l'équation (2) donne

P„Wa-hP„,

Q/»w/» + Qii-i d'où

Q„,a>-P«, Qn-i (-ï)«

(3) co„ =

Q^to — P„ Q;, Qn(Q«w — P/,)

Changeons dans cette équation d en — y/t/, (oetcoy, se changent en 0)' et o)^,, et Ton déduit de (3)

Pn-l

r.x / __ Qg-ifa)'. — P/,-1 Q«-i Q/i-i

Pour des valeurs suffisamment grandes de /2, les nombres

W -;r— j eu :

diffèrent aussi peu que l'on voudra de la différence non nulle

(ù' — (o = — 2y^d; l'équation (4) montre alors que co^ est négatif. Qrt — Qrt« est un entier positif au moins égal à i ; la fraction

tend vers o, quand n augmente indéfiniment; l'équation (5) montre alors que (0^^+ i est positif pour des valeurs suffisamment grandes de n. Le théorème I est ainsi démontré.

Le nombre conjugué de co' étant le nombre donné o), il en

résulte que (ù et 7 sont réduits simultanément.

P<r '•,/,r. .•*-, 'i* n* :•* -' z-k* lîr* r**-i i^* n x -î^ n tf z^^fl^i rue i

\'ii%*wi*: — , et sODl b>a* deax d«* nooibnîâ reiiilSw -

#r» f^'*iï\\t qrj^x e-sl le p!ui grand entier conceno dans : •• est

4:uû*'Tf:fntul d»'t>rrrrjiné par co', : donc aos5Î «> par«»|. D'oè cette proposition :

IIL Ijfir%qu^on dés;eloppe un nombre réduit b» eji fraction continue, tou% les quotients complets o». sont aussi des nombres réduils; l'un de ces quotients ci>, détermine les quotients «i-i ^t *»>n^i qiti le précèdent et le suivent.

^ \X\, -- Déreloppement des irrationnelles gnadratignas léeDes

en fractions continnes.

IV. Les nombres réduits correspondant à un discriminant donné sont en nombre fini.