CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES
Pour le voir, il suffit (§ 130) de mettre l'irrationnelle g) sous la forme
Le nombre conjugué a pour expression
, b — ^D — ia
Pour que co soit réduit, il faut et il suffit que
y/D étant positif, c devra être positif-, on en conclut
La seconde représentation de w fournit une autre forme de cette condition :
(5) o</D — b<ia<^-hb,
Donc a, 6, c sont positifs et 6 est inférieur à v^- Soit "k le plus grand entier contenu dans \/D :
b aura Tune des valeurs i , a, 3, . . ., X, en observant que 6 et D devront être de même parité. Il faut alors déterminer a el c de
manière que
et
a devra être compris entre les mêmes limites que c. Une seule de ces limites est un nombre entier; on pourra donc remplacer la limite inférieure par le nombre entier immédiatement supérieur, ou bien la limite supérieure par Tentier immédiatement inférieur.
b n'aura donc qu'un nombre fini de valeurs; par suite — - — ne
pourra être décomposé en an produit de deux facteurs entiers que d'un nombre limité de manières; parmi ces décompositions, il ne faudra conserver que celles dont les deux facteurs sont compris entre les limites (7). En outre, îl faut laisser de côté toules les combinaisons où les nombres a^ b, c ont un diviseur commun. Nous avons ainsi la possibilité de déterminer tous les nombres réduits correspondant à un discriminant donné (§ 130).
Nous désignerons, dans ce qui suit, ces nombres par le symbole
parce que y et c sont positifs.
Des propositions III (§ 132) et IV (§ 133) résulte alors ce théorème importan t :
V. Zre développement en fraction continue d'un nombre réduit a> est périodique.
Cela signifie que, si Ton met co sous la forme
(9) w = (ao, «1, «2, ...),
les quotients incomplets a se reproduisent dans le même ordre après un certain nombre d'opérations; si la période se compose de V termes, on aura donc
«0 = Œv = *ÏV = . . . , «1 = av-»-i = otïv-Hi = . . . .
«V-t = 3tjv-l = ^IjV— 1 = • . .
On pourra donc désigner toute la fraction continue par la seule indication de la période et écrire, par exemple,
(10) w = [ao, «1, ..., 5tv i].
Ce théorème signifie évidemment que le quotient complet o)v est identique au nombre (o; c'est ce que nous allons démontrer. Les quotients complets coy sont des nombres équivalents; ils correspondent donc au même discriminant et, par suite, leur nombre est fini.
