CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES
Dans la suite des quolienls complets (o, (0|, (02, ... on devra retomber sur un nombre déjà trouvé. Soît Wy le premier de ces quotients que Ton retrouve; coy serait nécessairement égal à (o; sans quoi (§ 132, III) on aurait déjà dû retrouver ctXy.i .
Il en résulte que tous les nombres réduits, correspondant à un même discriminant, peuvent être groupés en périodes
(11) (l)y (1)1, (1)1, •••) ^V— Il ' ' "t
de telle sorte qu'en désignant par
«0, tti, aj, . . ., «v—i, les plus grands entiers contenus dans ces nombres, on ait
(0 = [«0» «i» • • -, «V-lJ»
cuj = [ai, «j, . . ., ao ],
formules qui donnent le développement en fraction continue pour chacun de ces nombres.
Si la totalité des nombres réduits n'est pas épuisée par une seule période, on en formera une seconde et ainsi de suite. Un nombre quelconque co détermine le nombre qui le précède et le nombre qui le suit dans la période; donc deux périodes distinctes n'ont pas de nombre commun.
Ces périodes donnent lieu à la proposition suivante :
VI. Les nombres réduits appartenant à la même période sont équivalents; ils ne le sont pas, s'ils appartiennent à des périodes différentes .
La première partie est évidente, puisque les nombres d'une même période sont les quotients complets qu'on trouve en arrêtant le développement à l'un quelconque d'entre eux; la seconde se démontre en remarquant [§ 129, IX] que les développements en fraction continue de deux nombres équivalents fînissent par se terminer par les mêmes quotients complets. Si donc les deux fractions sont périodiques, elles appartiennent nécessairement à la même période.
Supposons qu'on ait formé, d'après les règles données au commencement de ce paragraphe, le système complet des nombres
réduils correspondant à an discriminant donné D; il est alors facile d'en former des périodes et de trouver les dénominateurs x des fractions continues. Soit, en effet
un de ces nombres, et
Ci3) ù)i =
2Ci /D — 6,
le nombre de la période suivant immédiatement ci>; si a est le plus grand entier contenu dans (o, on aura
fi4) (I) = a H > (Oi =
Diaprés (12) et (i4) il vient alors
(Of = — z ;
/D -1-6 — ICOL
d'où, en tenant compte de (i3),
(i5) rt, = c, ôi = 2ca--6.
Réciproquement, si deux nombres réduits (a, 6, c), («i, 6|, Cf), correspondant au discriminant D, vérifient les équations (i5) à condition que a soit entier, le second suit le premier dans la période. En effet, les équations (i5) entraînent Téquation (i4); il en résulte (II) que a est le plus grand entier contenu dans w.
Les équations (i5) déterminent donc (Oi complètement et sans ambiguïté, lorsque (o est donné.
VII. On range donc les nombres (a, 6, c) de gauche à droite de telle manière, que le dernier nombre c d'un nombre réduit soit égal au premier nombre a^ du suivant, et que la somme b-^-b^ des nombres intermédiaires de ces deux nombres réduits consécutifs soit divisible par ic. Cette disposition n'est possible que d'une seule manière; le quotient de b + bx par :icest le quotient incomplet a, qui figure dans la fraction continue.
