B«— 4AG = D

les deux racines Û et Û' de cette équation sont des irrarionnelles quadratiques de discriminant D; si on les développe en fractions continues, on arrivera (§ 132) à des quotients complets (0| et (02, qui seront réduits, qui appartiendront par suite aux périodes dont il a été question précédemment.

Reste à déterminer si ces nombres (0| et (02 sont contenus dans la même période ou dans des périodes différentes.

D'après la proposition VI, ils ne pourront appartenir à la même période que si Û et û' sont équivalents. Appelons nombre bilatère (•) toute irrationnelle quadratique équivalente à sa conjuguée; on pourra dire que le développement en fraction continue des racines de l'équation (16) conduit à une seule ou à deux périodes différentes, suivant que ces racines sont bilatères ou non. La période elle-même fait connaître le cas dans lequel on se trouve.

0) étant un nombre réduit, w' le conjugué, -, est aussi un

nombre réduit; si û est équivalent à co, û' est équivalent à co' et,

par suite, aussi à 7 (§ 129).

Si l'on a

0) = (a, bj c),

on aura, d'après (12),

D'après l'équation (9) du § 132, , se rattache à r^

comme (0| à o). Si donc la période de o) est

(') ^\\^\.èTt, zweiseitigf d'après Dedekind; a7ice^.s d'après Gauss; ambïg, Di- RiCHLBT, Leçons sur la théorie des nombres, \* édit., p. 189; 1894.

460 UTIC n. — IXS EACSOS.

la période de -, esl

Si la période do déreloppemeot en fraction continoe de w

celle de , sera

c'est donc la précédente renversée.

Par suite, si oj est équivalent à Cl>^ donc à f ces périodes

doivent être identiques (VI); en commençant à un terme convenable, la période de co doit être réversible.

En d'autres termes : dans le développement en fraction continue de oj, on doit pouvoir choisir deux éléments tels, que le développement soit le même, qu'on le lise de Tun des nombres vers la gauche ou de Tautre vers la droite.

Ou encore : pour une valeur de k convenablement choisie et pour 1 = 1, 9., . . . , V — I , on doit avoir

Réclproquement, si la période est réversible, co est équivalent à 7 et, par suite, aussi à co'. D'où cette proposition :

VIII. Le développement en fraction continue d'un nombre bilatère possède une période réversible; réciproquement, un nombre possédant cette dernière propriété est bilatère.

Remarquons pour terminer que les irrationnelles quadratiques réelles se distinguent de tous les autres nombres par cette propriété de pouvoir être développées en fractions périodiques.

Soit en effet co un nombre développé en fraction continue, iùn et iHfn deux quotients complets, on a

Si donc la fraction continue est périodique, soit dès le début,