GH4P1TRB XI. — FRACTIONS CONTINUES

portons ces valeurs dans la relation

il vient

(7) t^ — Du*=r--{ — l)n/^,

L'équation (7) s'appelle V équation de PelL

D étant supposé donné, il s'agit d'en trouver toutes les solutions entières en / et u. D'ailleurs, si elle admet la solution t et ;/, elle admet aussi la solution — i, — w ; on peut donc se borner à chercher les solutions positives.

Les formules (4) et (5) nous font connaître une infinité de ces solutions; il suffit de choisir pour n un multiple quelconque du nombre V, pour u le plus grand commun diviseur de Q^, P^-i,

P„ — Q/ï i? ou même simplement le nombre— ; puis de déter-

miner t par l'équation (5), ou encore à l'aide de l'équation (7), une fois qu'on a déterminé u.

Si V est impair, et n un multiple impair de v, on a

(8) /«— Dw* = — 4;

mais si v est pair ou n un multiple pair de v, on aura

(9) <«~-Dw« = 4.

L'équation (9) possède la solution évidente ^:^ di 2, // -- o; dans toutes les autres solutions de (8) et de (9), t el u sont différents de zéro; nous ne considérerons que les solutions positives.

Nous allons maintenant démontrer que d'une solution quelconque de l'équation (3) on peut déduire, à l'aide des formules (4) et (5), toutes les solutions des équations (8) et (9).

Soit donc (i, u) une solution positive de l'équation (8) ou (9), et (i> = (a, 6, c) un nombre irrationnel réduit de discriminant D. Déterminons, par les formules (6), les quantités P„, Q«, P„i, Q/i-1 ; ce seront évidemment des nombres entiers puisque t et bu sont de même parité. De l'équation (3), vérifiée par to, on déduit alors (2), d'où

(10) ^=r\ Tx >

de (8) ou (9) on conclal

(II) P«Q/»-i — Q«Pi.-t = =pi,

en prenant, comme dans les formules suivantes, le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que la solution (t^ u) appartient à l'équation (8) ou à l'équation (9).

D'autre part, les formules (6) donnent

sJ« — V!/»-i— f

(ûT, 6, c) étant un nombre réduit, on a

donc

mais u et t sont des nombres positifs et entiers; D est plus grand

que i; donc i/y/D -[- t est plus grand que 2; donc Qn — Q«i est plus grand que o, si l'on prend le signe supérieur, et plus grand que — I, si l'on prend le signe inférieur.

Q« — Q/i i devant être un nombre entier, ce* nombre est donc supérieur ou égal à o ; par suite

l'égalité n'ayant lieu que dans le cas où {t, u) est solution de (9). En outre, comme b <C ^D [§ 133, (4)]> oii aura

^ t — bu^ t — uy/D /«— .a«D q= 51

Q//-1 est donc nul ou positif; il ne peut être nul qu'en prenant le signe supérieur, c'est-à-dire dans le cas de l'équation (8). On en conclut

l'égalité avec la limite inférieure ne pouvant avoir lieu que dans le cas de l'équation (8); avec la limite supérieure dans le cas de l'équation (9).