CHAPITRE I. — FONCTIONS RATIONNELLES. 6l

Considérons en particulier un produit de n facteurs linéaires

(9) /(^) = (a? — a, ) (a? — aj ). . .(a? — a„) ;

la dérivée de chacun de ces facteurs est égale à i ; il vient donc

f'{x)= (a? — a,)(a? — a3)...(iF-.a„) . -f-(a:— ai)(a: — a8)...(a? — a„)

-t- (a? — aj ) (a: — a,). . .(a? — a„i ), ce que l'on peut aussi écrire

On déduit de là un résultat très important, en remplaçant :r par les valeurs ai , a2, . . . , a/,,

/'(a,) = (a, — ai)(ai — a3)...(ai— a«), /(a,) = (aj — ai) (a, — a,). . .(aj — a„),

(la)

§ 15. — Fractions rationnelles.

Les formules que nous venons d'établir peuvent servir à donner une nouvelle solution du problème de l'interpolation, déjà traité aux § 9 et 10.

Supposons, comme précédemment, que l'on ait

(i) /(^) = (a: — ai)(a7 — ai)...(a7 — a«);

ai, a2, . . ., a/z sont des quantités quelconques, mais distinctes. Posons, pour abréger,

A(^)= il =(^ — ai)(^ -a3)...(ar — a„),

X — OCi

, . y/»(^)=^ f- =(a: — a,)(ar — a,)...(a?-a«),

( a ) / " ar — a,

X —— OCn

62 LITEB I. — LES PRINCIPES.

il résulte alors des formules (12) du paragraphe précédent, que

et, en général, en désignant par [x et v deux indices différents parmi les nombres i, 2, . . ., /i,

(3) /v(av)=/'(av), /,(«{,) = o.

Soit Â| , Â2, . . ., Âfl un sj'stème de quantités données; la fonction entière, de degré n — 1 ,

se réduit à Av pour x = 0.^; il existe donc une fonction f(x) du degré n — 1, laquelle acquiert des valeurs données à l'avance pour n valeurs données de x. Pour des valeurs particulières des nombres Av et a^, le degré de <f{oo) pourra d'ailleurs s'abaisser.

La formule (4) est la formule d'interpolation de Lagrange. D'après les équations (2) elle peut aussi se mettre sous la forme

dans cette expression, ^{x) est une fonction quelconque de degré n — ï ou de degré inférieur.

Soit 4>(x) une fonction de degré supérieur à /i — i; on peut (§3) la mettre sous la forme

(6) *(:r) = Q/(ar) + <p(a7),

Q étant une fonction entière et ^{x) une fonction du degré n — 1 au plus. D'ailleurs, par suite de l'égalité (i), on a

(7) *(ai) = ?(ai) et, par suite,

La fraction -?- — - est ainsi mise sous forme d'une fonction en-

tière Q et d'une somme de fractions dont le numérateur est constant, et dont le dénominateur est une fonction linéaire de x. On