CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

numérateurs des réduites n'augmentent que lentement, et c'est péniblement qu'on arrive à un résultat très approché.

La recherche de ces grands nombres, tels que qS, est facilitée par la remarque suivante : lorsqu'une racine d'une équation a une valeur très grande, le coefficient changé de signe du second terme de l'équation (supposée complète) est une valeur grossièreiÉient approchée de cette racine. Ainsi, dans l'avant-dernière des équations précédentes, ce coefficient changé de signe est 94 ^ il a servi à trouver g5.

§ i38. — Racines commensurables d'équations à coefficients entiers.

Équations réductibles.

Nous terminerons ce Chapitre par quelques remarques sur les équations à coefficients entiers ; quoiqu'elles ne se rattachent pas directement à la théorie des fractions continues, c'est ici qu'il convient de les faire.

Lorsque les coefficients d'une équation sont commensurables, on doit d'abord chercher si l'équation admet des racines commensurables. L'équation

ayant des coefficients rationnels, on les ramène à être entiers en multipliant tous les coefficients de l'équation par un multiple commun des dénominateurs.

On pourra supposer, en outre, que Uq est égal à 1 ; il suffit de former le produit a""^ f{x) et d'y poser

pour que l'équation prenne la forme Soit donc

une équation à coefficients entiers. Une racine commensurable de l'équation (i) ne peut être fractionnaire. En eflet, si l'équation (i)

et supérieur à i, on aurait, après multiplication par q^~^ ^

admettait la racine ^9 p et q étant premiers entre eux et q positif

- — v- at/?»-* -h a,^/>«-'-h . . . -^ anq*^'^ = o.

11 faudrait que — fût entier, ce qui est impossible.

Si donc Téquation (1) est vérifiée par une valeur entière de x, on voit que cette valeur est nécessairement un diviseur de a^; il suffit donc d'essayer tous les diviseurs de a«, affectés du signe + et du signe — .

La recherche des racines commensurables d'une équation à coefficients entiers est un cas particulier d'un problème plus général : étant donnée une fonction rationnelle et entière à coefficients entiers

rechercher si elle admet des diviseurs de la forme

^{x) = x^-\- airr^-*-h. . .-t-av,

V étant inférieur à n, et les coefBcients de ^{x) étant rationnels. S\f{x) est divisible par ^(^), le quotient est une fonction rationnelle i({x) de degré n — v :

f{x) sera aussi divisible par ^(.a:); donc, pour la recherche des diviseurs, nous pourrons toujours faire l'hypothèse

vS -/i.

De plus, il résulte des propositions du § 2, que les coefficients a et p des fonctions ^ «et i( sont nécessairement des nombres entiers.

Pour reconnaître si la fonction /(a:) est décomposable de cette manière, on prendra une fonction~ç(^) avec des coefficients indéterminés, et l'on divisera f{x) par f (x) [§ 3]. Le reste sera de degré v — i ; en égalant à zéro ses différents coefficients, fonctions rationnelles des indéterminées a/, on aura v équations auxquelles