CHAPITRE X.I. — FRACTIONS CONTINUES

doivent satisfaire ces coefficients. En éliminant v — i des indéterminées, on trouvera une équation qui devra avoir une racine entière.

Il sera souvent plus commode de ne pas effectuer cette élimination et de chercher à satisfaire au système des v équations par des valeurs entières des coefficients. Le choix des nombres entiers à essayer peut être restreint par des artifices, qui reposent sur les propositions de la théorie des nombres.

Traitons comme exemple une équation du dixième degré, qui se présente dans la théorie des fonctions elliptiques; ce problème s^y pose très souvent; on sait théoriquement que la décomposition est possible, et il s'agit de trouver les deux facteurs (*).

Soit donc Téquation

a7>o—36ar«H-528a7«-- 38974?*-+- i4354ar*— 2i025 = 0;

il s'agit de décomposer le premier membre en deux facteurs du cinquième degré. Si l'un des facteurs est de la forme

a:*-f- ax^-^ pa:'-f- y^*H- §^ -+- e,

l'aulre a nécessairement la forme

x^ — aa:*-i- ^x^ — y^'~^ ^^ — *>

puisque l'équation ne renferme pas de puissances d'exposant impair. On aura donc l'identité

ario — 36a:>-i- 0280:* — 389737* -4- i^'dS^x^ — 21025

=^ (ar*-+- pa?»-i- 8a:)* — (aar*-t- -^x^-h e)*.

Identifiant les coefficients, il vient