Y«-+-2ae

( ' ) Voir l'Ouvrage de l'auteur : Fonctions elliptiques et nombres algébriques; BrauDSchweig, 1 891. L'exemple traité se rapporte à la transformation du 47* ordre ; il est emprunté au Mémoire : Contribution à la théorie de la transformation des fonctions elliptiques {Math. Ann., t. XLIII; 1898 ).

Il faut trouver des valeurs entières de a, P, Y? 3, e qui vérifient ces cinq équations. La dernière donne de suite

e = v/âïoâs = 145 = 5.29;

on peut prendre pour e la valeur positive, puisque, dans l'un des facteurs, le terme indépendant sera positif. Dans Téquation 4 prenons le reste du second membre par rapport au modr45; il vient

(4) 8« = — I (modi45);

celte congruence a les quatre solutions

8=dri2, ±17 (inodi45).

D'ailleurs, en vertu de Téquation 4, S est un nombre pair, et pourra par conséquent prendre les valeurs

dri2, ±128, ±162.

Nous nous bornerons là pour Tinstant, car il est peu probable a priori que 5 ait de grandes valeurs. A ces valeurs de 8 correspondent pour Y les valeurs

déduites de l'équation 4.

En employant maintenant le mod5, on trouve

Y'^i, —I, I (mod5);

de l'équation 3 on conclut

P=±i, dta, ±1 (mod5);

enfin, d'après l'équation 1,

a*=i±2, i=pi, ï±2 (mod5).

Un carré ne peut donner pour restes par rapport au mod5 que

o, I, 4 et non pas 2 et 3; il en résulte que l'on ne peut prendre

pour 8 que

d'où

«=±2, O, ±2 (modS).