THEORIE DES RACINES DE L'UNITE

§ 139. — Les racines de l'unité.

On appelle en générai racine de V unité un nombre réel ou imaginaire, tel que Tune de ses puissances d^exposant entier est égale à I. Nous avoDS.déjà rencontré ces racines au § 36 et nous les avons représentées à l'aîde des fonctions trigoaométriques et exponentielles. Nous nous sommes servis de certaines racines particulières, par exemple les racines cubiques de l'unité (§ 38), sans faire usage de leur forme trigonométrique.

Dans toutes les recherches approfondies sur les équations algébriques, une connaissance détaillée des racines de Tunité et de leurs propriétés est indispensable. Nous allons aborder dans ce Chapitre la partie élémentaire de la théorie algébrique des racines de l'unité, sans nous servir de leur représentation trigonométrique. Cette théorie s'appelle aussi la théorie de la division du cercle, à cause de son application à la construction des polygones réguliers; il y a été fait allusion au § 36; dans ses parties essentielles, elle a été créée par Gauss (').

Un nombre r dont la puissance /i'^"® est égale à i, qui vérifie par conséquent l'équation

n étant entier et positif, s'appelle une racine n^^'^^ de l'unité, ou encore une racine d'ordre n. Toutes les racines /i»^*"*" de

(') Gauss, Disqu, arithm.j Sectio VII.