CHAPITRE XII. — THÉORIE DES RACINES DE l'uNITÊ. ^Sï
TuDilé, et elles seules, sont donc racines de Téqualion de degré n,
(2) /(ar) =a:'»— I = o.
On a
(3) /\x) = nx^-^;
donc /(a:) ei/'(x) n^ontpas de diviseur commun ;/(^) n'a àonc pas de racines multiples. 11 y a n racines n'*"" de l'unité, toutes distinctes entre elles.
/• étant racine 7i»*"« de l'unité, il en est de même de toute puissance de r; l'égalité /•"= i entraîne en effet /•*"= i, k étant un entier quelconque, positif, négatif ou nul; par suite r^ est aussi une racine /i^*^"* de Tunité. Comme, d'autre part, il n'y a que n racines n'*"** de l'unité, les différentes puissances de r ne sont pas distinctes.
Si k et k' diffèrent d'un multiple de /i, c'est-à-dire si
(4) k^k'imodn), on a aussi
En effet, si
k'=zk-hhn,
rA«= (r'»)^= I.
Il en résulte que la suite des nombres
contient certainement toutes les valeurs distinctes de r^; mais inversement tous les nombres de la suite (6) ne sont pas distincts. Soient Ar et /:'= Ar -H [x deux nombres de la suite
supposons qu'on ait
il en résulte rl*= i . Donc, dans la suite (6), on ne peut retrouver
un nombre déjà écrit, avant d'avoir retrouvé le premier terme i .
on a
puis
4B3 uruM. n* — u» iaceiss.
Si [A est le ploB- petit nombre po&itif tel que r^= i , les nombres
sont tous distincts.
{X est nécessairement un diviseur de n.
Divisant en effet n par /x, on peut déterminer deux eotiecs A
et. \i!y tds que
/i = A jH- jjl', o s k' < H"-
On en conclut
et par suite rl^'=i.; comme, d'autre part^ \l est le plus petit nombre positif tel que rV-= r, on en ooncLui ^'=0] donn [juest un diviseur de n.
Donc, r est une racine de V unité d* ordre pi, mais ne l'est pas d'ordre inférieur.
On dit que r est une racine primitive d'ordre n, si ce n'est pas une racine de l'unité d'ordre inférieur à n.
Si rest une racine primitive, les nombres de la suite (6) sont donc tous distincts; ce sont toutes les racines /i*""** de l'unité.
Si r n'est pas racine primitive, ces nombres ne forment qu'une partie des racines n**™'» de l'unité. Chaque racine de l'unité dont l'ordre est un diviseur de n, différent de n, n'est pas une racine primitive.
Si le nombre r est une racine /n**"* et une racine n**"* de l'unité, il est aussi racine p.'*"*, e/L appelant [l le plus grand commun diviseur de m et de n.
En effet, on sait déterminer (§ i26), deux entiers x et ^ tels que
il en résulte que
rK'= r'^'.r*^y=i i.
De là cette autre proposition :
Si les nombres r,, r2, ..., sont racines de l'unité d'ordres riir /11,..., ce sont aussi des racines d'ardre m y ce nombre étant un multiple commun à n^ ,, /z^,,. . ..
