CHAPITRE XII. — TBÉOKIB BBS RACIHBS DE L'UxMTÉ
§ 140. — Racines primitives.
Nous Bravons pas démontré dans le paragraphe précédent qu'il existe des racines primitives pour chaque ordre n. Nous allons faire cette démonstration et préciser en même temps le nombre de ces racines.
Supposons que Ton ait décomposé le nombre n en deux facteurs a. et b premiers entre eux, tels que n^=abi soit a une racine de Tunité d^ordre a, ^ une racine d'ordre 6. Le produit
est alors une racine d'ordre n. Soient a' et ^' deux autres racines d'ordres a et 6, /''= a'p' est aussi une racine d'ordre n; il s'agit de montrer que r' et r sont différents, à moins que Ton n'ait simultanément a = a' et P = P'.
Puisque a et 6 sont premiers entre eux, on sait déterminer (§ 126) deux entiers x ely tels que
(2) ax-hbjr = i\ il résulte alors de (i) que
a et p sont donc déterminés sans ambiguïté, quand r est donné; par suite a'P' ne peut être égal à r, que si a = a' et p = P'.
Si donc, dans la formule (i)^ on prend pour a les différentes racines d'ordre a, pour ^ les différentes racines d'ordre ft, on obtient ab = n quantités distinctes ; donc :
I. Toutes les racines /i"">" de V unité peus^ent être mises sous la forme ap.
Et en outre :
II. Pour que r soit une racine primitive d'ordre n, il faut et il suffit que 9. soit racine primitive d"^ ordre a et ^racine primitive d^ ordre b.
Soit, en effet, jx le plus petit exposant positif, tel que rt*= i;
on en conclut at*p(^== i; en élevant les deux membres aux puissances by et aXy et tenant compte de (2), ou en conclut
Si [X est inférieur à /i, il ne peut être divisible à la fois par a et par 6 ^ donc a et 6 ne peuvent être simultanément les plus petits exposants positifs tels que les puissances de a et de |3, ayant ces exposants, soient égales à i; en d'autres termes, si m'est pas racine primitive d'ordre n, a et ^ ne peuvent être simultanément racines primitives d'ordre a et é; si a et p sont au contraire racines primitives d'ordres a et 6, leur produit r est racine primitive d'ordre n.
Il est clair d'ailleurs que, si a et ^ sont racines de l'unité d'ordres inférieurs k a el b, r sera une racine de l'unité d'ordre inférieur à n.
Décomposons n en plusieurs facteurs a, b^ c^ . . . , premiers entre eux deux à deux; soient a, p, y, . • . des racines de l'unité d'ordres respectifs a, 6, c, ... 5 posons
par l'application répétée des propositions précédentes, on conclut que la formule (3) donne une fois, et une seule, toutes les racines /i'^™«» de l'unité; de plus, pour que r soit une racine primitive d'ordre n, il faut et il suffit que a, p, y, . - . soient des racines primitives d'ordres a, 6, c, ....
Soit <f{n) le nombre des racines primitives d'ordre n-^ de ce qu'on vient de dire, on conclut que
lorsqu'on a
n = abc , . .,
les facteurs du second membre étant premiers entre eux deux à deux.
On sait que tout entier peut être décomposé d'une seule manière en produit de facteurs premiers sous la forme
