CHAPITRE I. — FOI<ÏGTIONS RATIONNELLES

dît qu'on a décomposé la fonction fractionnaire -jt—! en fractions

simples; elles jouent, comme on sait, un rôle très important dans

le Calcul intégral.

Déduisons encore quelques conséquences de ces résultats.

Posons o(x) = j;'""*"* ; la formule (5) reste applicable à condition

de supposer

Si Ton suppose que les quantités a^ , as, . . ., a,, sont toutes difTé* rentes de zéro, le premier membre de la formule (5) s'annule pour x = o] on trouve donc l'égalité

En supposant 4>(5?)=:a:", on peut employer la formule (8), en supposant Q = i ; il vient alors

Les formules (g) et (lo) restent exactes, même si l'une des racines a est nulle. Cela est évident pour m positif. Pour m = o, la formule (9) se déduit de la formule (5). Pour <p(a:) = :r et a, = o, elle s'écrit

/{x) (x — ai)/\ai) '" (x—an)f{0Ln)'

pour j; = o, on retrouve la formule (9).

Dans tout ce qui précède, on a supposé expressément que les racines a^, a^, . . ., ol„ sont différentes; dans le cas contraire, certaines des quantités /'(ai), /'(tta), '-"if'{^n) seraient nulles.

Si maintenant nous désignons par f{x) un produit de puissances de facteurs linéaires différents {x — a), et par ^(j;) une fonction entière arbitraire, on pourra encore mettre la fonction

fractionnaire ^; ; sous forme de la somme d'une fonction entière

et d'une somme de fractions simples; ce nom désigne maintenant des fractions dont le numérateur est une constante et le dénominateur une puissance du binôme x — a.

Pour le démontrer, supposons que l'on ait

(11) /(^)-(^-a)Vi(^)î

f^ (:r) étant un produit de puissances de facteurs linéaires différents de j: — a.

On peut déterminer une constante A(§ S) de telle sorte que

l'expression

*(r)-A/,(ar)

soit divisible par x — a et prenne la forme

(12) *(ir) — A/i(a") = (a: — a) *i (a?) 11 suffit pour cela que

il résulte alors de (11) et (12) que

Ji^x) (a7-a)«/i(a) (a7-(z)«-Vi(^)

l.e même procédé de décomposition s'applique à la seconde fraction du second membre, dont le dénominateur contient le facteur x — a avec l'exposant a — i seulement; on pourra évidemment continuer de la même manière, jusqu'à ce qu'on ait réalisé complètement la décomposition désirée en fractions simples.

§ 16. — Développement d'une fonction fractionnaire par rapport aux puissances décroissantes de la variable.

Nous avons démontré au § 3, pour un exposant positif v quelconque, la formule

(i) a?v 4,(a7) =/(a:)(c„«^^-,ar'»-«^-VH- c„,„a7'«-«^-v-i -+-. . .-t-Cy+i) 4- <ï>v(a7),

dans laquelle /, 4>, ^y sont des fonctions entières de x de degrés 71, m, n — I ^ les coefficients c et les coefficients de 4>v se déduisent par des opérations rationnelles de ceux de/" et de <^.