CHAPITRE XH. — THÉORIE DES RACINES DE L*UN1TÉ. 4B

P^ P\t P2j • • • étant des nombres premiers différents, et?:,, t:^, . . . des exposants positifs. La formule montre alors que

on est donc ramené à chercher combien il y a de racines primitives d'ordre/?'^.

La solution est aisée. Soit, en effet, p une racine de Tunité d'ordre/?'^; le plus petit ordre, pour lequel p est racine de l'unité, sera un diviseur de/?'^, donc une puissance de /> ; s'il n'est pas égal à/?'^, ce sera donc un diviseur de/?'^"*; en d'autres termes, chaque racine non primitive d'ordre p"^ est en même temps racine de l'unité d'ordre /?''"*. D'ailleurs, il y a/?'^ racines d'ordre /^'^ et z?'^"* racines d'ordre/)'^"*; le nombre des racines primitives d'ordre p'^ sera donc égal à

Il en résulte, d'après la formule (5), que le nombre des racines primitives d'ordre n est égal à 9

le produit 1 1 étant étendu à tous les facteurs premiers différents

de n. Cette formule (6) ne convient plus au cas de n = i ; on posera dans ce cas cp(i) = 1 . Le nombre cp(/i) n'est donc jamais nul. Il existe au moins une racine primitive r pour chaque ordre n ; les racines /i'^™<^» de l'unité sont donc représentées par la suite des puissances de r

r* étant une puissance quelconque de r, la condition nécessaire et sufûsante pour que ;*'" soit égal à i est que km soit divisible par /i. Soit n' le plus grand commun diviseur de k et de n, et n = n'n"; m devra être divisible par n", et n!^ sera l'exposant de la plus petite puissance de /•* qui puisse être égale à i; en d'autres termes, r* est une racine primitive d'ordre 7i". D'où cette proposition :

IIL r étant racine primitive d^ ordre /i, la condition néces-

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saire et suffisante pour que r* soit aussi racine primitive est que k soit premier avec n.

Si k est un aombre de la suite i, 2, . . . , /z, on trouve ce théorème de la théorie des nombres :

ç(/i) est égal au nombre des entiers premiers avec n et inférieurs à n .

C'est là précisément la définition donnée pour le symbole 9(/i) usité dans la théorie des nombres.

k ^tant premier aTec n, on sait d'éterminer un nooibre a: tel que kx ^ i(mod/i). Appelons r et Tj deux racines n*^"*** de ranité; r* ne pourra être égal à /-f que si /• est égal à r^ . On le voit en élevant ces deux puissances à la puissance x. On en conclut que :

IV. k étant premier avec n, et r devenant égal successivement aux différentes racines primitives d'ordre /i, r* prend ces mêmes valeurs, quoique dans un ordre différent.

Énonçons enfin cette proposition :

V. n étant un nombre premier, toutes les racines /i*^"** de C unité, à l'exception de i, sont primitives.

§ 141. — Équations auK nadneë primitiires d'ordre n.

Toutes les racines n'*"** de l'unité sont racines d'une certaine équation

en débarrassant la fonction fn{x) de tous les facteurs communs à cette fonction et aux autres fonctions fnX^) ^® même forme, ce qui se fait par des opérations rationnelles (§ 6), on obtient une équation X^, = o, qui n'admet plus comme racines que les racines primitives d'ordre n ; elle est de la forme

(2) X|»= JT^H- aiJ?^~*-h. . .-*-av= o.

Le degré v est égal à ç(/i) et les coefficients ai, «j, . . . , Ov sont des nombres rationnels.