CHAPITRE XII. — "THÉORIE DES RACINES DE l'uNITÉ. ifi'J

Dans la recherche des facteurs communs kfn et f^^^ on peut se borner au cas où n^ est un diviseur de n. Nous verrons tout à l'heure par quel procédé on peut former simplement la fonction X^,; démontrons d'abord un théorème général sur ces fonctions.

'Les racines n**"^ de l'unité comprennent toutes les racines primitives d'ordre |ji; ce nombre (x est un diviseur de n et peut être égal à n et à i, puisque i doit être considéré comme la racine primitive du premier ordre.

Prenons pour |jl successivement tous les diviseurs de n; observons que deux, fonctions Xp^ d'indices différents n'ont pas de facteurs communs, que ni fn{^) ni Xj,. n'ont de facteurs multiples ; il en résulte

le produit 11 étant étendu à tous les diviseurs |jl de n. Les deux membres devant être du même degré, on trouve ainsi

proposition bien connue de la théorie des nombres.

D'autre part, on conclut du théorème de Gauss (§ 2), que les

coefficients de toules les fonctions Xjj^sont des nombres entiers. Si,

^ en effet, certains d'entre eux étaient fractionnaires, le produit ne

pourrait avoir tous ses coefficients entiers, ce qui est nécessaire

d'après (i) et (3).

Toutes les fonctions fn{^) ont Je diviseur x — i ; en effectuant la division, il vient

(5) = a:«^* -+- ar«-* -h . . . -f^ j? -f- 1 .

On en conclut que, si r est une racine n*^"® quelconque de l'unité, différente de i, on a toujours

tandis que, pour r = i, cette somme est égale à n,

n étant un nombre premier, toutes les racines /i»^"" de l'unité

sont primitives, i excepté ; en désignant par /> ce nombre premier /i, on a donc

(7 ) \p = xP-^ -4- a:/'-»-4- . . . -4- a? -f- I .

On forme la fonction X/, tout aussi simplement, lorsque n est une puissance d'un nombre premier, de la forme /?^. Posons, pour abréger, z?'^"* =/?', de sorte que

Les racines 71*®"" de Tunilé comprennent, dans ce cas, les racines primitives d'ordre n et toutes les racines d'ordre /?'. On a, par conséquent,

XPP' I

(8) X;^= ; =xP'^P-^^-\-XP'^P'-^^->r...-ifXP''^\.

XP — I

Si p' est plus grand que i, c'est-à-dire 7t>> i, cette équation ne renferme pas de terme de degré v — i, dont le coefficient est égal à la somme des racines changée de signe. Donc :

La somme de toutes les racines primitives d^ ordre n est nulle, lorsque n est une puissance d'un nombre premier.

Pour trouver la loi de formation de X„, nous emploierons un procédé de récurrence. Nous supposerons X^ connu; nous désignerons par/? un nombre premier qui ne divise pas n, par p' la puissance it — i de p (qui peut d'ailleurs être égale à i), et nous nous proposons de former \np'p'

Désignons par r les racines primitives d'ordre /i, par a les racines primitives d'ordre /?/?', par a' celles d'ordre p'; on obtienl toutes les racines primitives d'ordre npp', en supprimant parmi les produits ra ceux qui sont de la forme ra' (§ 140, II). Les produits ra sont racines de l'équation

Xn(xPP') = o;

car les quantités

(raL)PP'= rPP'

ne sont autres que les quantités r dans un certain ordre (§ 140, IV). De même, les produits ra' sont racines de l'équation

Xn{^P')=0]

GBAPITRR XII. — THÉORIE DES RACJNBS DE l'uNITÉ. 4^9

il en résulte

X (xPP')

(9) ^»'''''(^)=3feô*

Cette formule s'applique au cas de /i= i, à condition de poser

Xi = X — I.

Il est donc relativement facile de former X^ dans les différents cas.

Considérons quelques cas particuliers.

Supposons que n ne contienne que deux nombres premiers différents p eiq] soit donc

n=pp'qq'.

Les formules (8) et (9) donnent

formule que Ton généralise de la manière suivante :

Soient |ji| les quotients obtenus en divisant n par un nombre pair de diviseurs premiers de n, différents entre eux, Tun d'eux pouvant être n; \k2 les quotients obtenus en divisant n par un nombre impair de tels diviseurs ; on a alors

Si l'on admet que cette formule soit vraie pour la valeur/i, la formule (9) montre qu'elle est encore vraie pour la valeur /i/?/?' de l'indice.

En désignant par ries racines primitives d'ordre /i, et supposant n impair, les quantités r changées de signe sont les racines primitives d'ordre 2/1 (§ 140, I, II). Par conséquent, n étant impair, on a

^go LITBE II. — LES RACINES.

Si n est une puissance de a, on a, d'après (8),

(12) ^n-— =x^-hU

Remplaçons dans (8) x par i ; X„ prendra la valeur/? lorsque n est une puissance de p. Par contre, la formule (g) montre que,

dans Thypothèse /2 > i, ^npp' prend la valeur i (pour n = i le second membre se présente sous la forme -]• D'où ce théorème :

V. La fonction X^ prend pour x = i la valeur p^ lorsque n est une puissance d'un nombre premier, et la valeur i lorsque n admet plus d'un diviseur premier.

Soit/? un diviseur premier de /i, tel que

n = pn' ;

on aura

cette fonction s'annule quand ou remplace x par une racine primitive a d'ordre n. Ellle est donc divisible par X^; par suite, il existe une fonction Y;,, à coefficients entiers (§ 2), telle que l'on ait

Désignant par a une racine quelconque de l'unité, d'ordre n', on aura ol'^' =^ i; l'équation (i 4) montre alors que

le nombre premier p est ainsi décomposé en deux facteurs, qui sont des fonctions rationnelles et entières d'une racine de l'unité, d'ordre n'.

GHAPITRB XII. — TBtOftlE DBS RAGDfBS DB l'UNITÉ. 49 <

§ 142. — Le discriminant de Téquation de division

du cercle.

Les racines n*®"** de l'unité peuvent se mettre sous la forme transcendante

Hick

T.kiz . . ik-K

(i) r = c « = cos hisin

Cette racine n}^^^ est primitive ou non primitive, suivant que k est premier avec n ou non. La plus simple des racines primitives correspond à la valeur A" = i ; c'est

— 21T ait

( 2 ) r© = e " = cos h « sin — = a -h è t.

Fig. a8.

L'angle — intercepte entre ses côtés la n^*"' partie de la circonférence. En portant n de ces parties égales les unes à la suite des auti^s, à partir d'une origine arbitraire, on obtient le polygone régulier convexe de n côtés, inscrit dans le cercle.

On peut construire ces points, lorsqu'on connaît ro, ainsi que a et 6 (ou une seule de ces quantités). En supposant égal à l'unité le rayon c du cercle circonscrit, on obtient pour le côté S du polygone régulier la valeur

S = 2 sin — = 4 / 2(1 — cos — j

Les autres racines r sont dans une relation analogue avec les autres points de division. C'est en raison de cette signification géométrique que l'équation X» = o, dont les racines sont les quantités r, a été appelée V équation de division du cercle.

Formons le discriminant de cette équation, en nous bornant au cas où n est un nombre premier impair.

49^ LIVtB II. — LES UkCINES.

On a alors

comme il n*j a qu'une seule racine non primitive qui est égale à

I y il en résulte

(4) Mx) = (x« - I) = (X- i)X„ donc

(5) fn{T) = nxn-i = X«-h(x- i)X;.

En désignant par D le discriminant de X;,, on sait (§ 50, o) que

(6) D = (-i)~nX;(r);

le produit II s'étend à toutes les racines de Féquation X^ = o :

ntn—l) il — !

comme n est impair, on a pu remplacer ( — i) * par ( — i) * . Mais, d'après (5), on a

(7) nrn-r=(r^i)X'^(r);

le produit de toutes les racines r est égal au terme indépendant de X dans la fonction X/^, c'est-à-dire à i ; d'autre part

U{r — x) = n(x — r) = Xn et, par suite,

II résulte alors des équations (6) et (7) que l'on a

En désignant par r Tune des racines de X^, toutes les racines de cette fonction sont repré^ntées par

rt'S r»/l — 1

Si donc l'on forme le produit P des différences deux à deux des

racines, on a