CHAPITRE XII. — THÉORIE DES RACINES DE l'uNITÉ

On sait (§ 50) que

D'après l'équation (8), on a aussi

formule qui détermine P au signe près. La valeur de P est réelle pour n ^ I (mod. 4)? et imaginaire pour n ^ — i (mod. 4); elle est donc réelle pour

/l ^ D, IJ, J^, 29, a", ... «

imaginaire pour

71 = 3, 7, II, 19, 23, 3i, ....

Le signe à attribuer au radical dans la formule (10) dépend de la racine r qui figure dans l'expression (9).

Prenons une racine r déterminée, par exemple r = Tq ; on peut déterminer le signe du radical dans la formule (10) de la manière suivante :

Divisons en deux classes les tacteurs binômes

r^-rV-, (v<p.)

qui forment P. Les différences de la première classe sont celles qui figurent dans le produit

ce sont toutes celles pour lesquelles [jl + v = /i.

Nous grouperons les autres facteurs deux par deux en produits de la forme

(12) R = (rv — /•!A)(r'»-ti — /-«-v).

Le nombre des facteurs de Q est — ; — ; le nombre des couples R

est donc

Ce nombre est toujours pair, puisque l'un des facteurs n — i, n — 3 est divisible par 4-

494 mytM II. — LIS lâciiŒs»

Si l'on pose

r=ze " , on a

I — cos — -^ k

c'est-à-dire que R est toujours négatif. Le produit de tous les couples R est donc un nombre positif.

De plus on a

(i3) Q = (2i)« sin sm -§---.•• sin i^ — ;

le signe de ce produit dépend de k. Si donc on prend k = i, c'est-à-dire r = Tq, les angles

2it 4"^^ ( '^ — '^)'^

sont compris entre o et tc; leurs sinus sont positifs. Dans ce cas on aura donc

il faudra prendre [/n avec le signe plus.

Le signe du produit de tous ks faeteurs R ne dépend pas de la valeur de r, mais de la nature de n. Il est donc intéressant de déterminer la valeur du produit Q, dont le signe dépend de r; voici comment.

Multiplions les deux membres de Téquation (i i) par

puis par

il vient

rr^r^, , . r ' = r » ,

Les exposants: de r dans les facteurs d^s seconds membres ne sont autres que les nombres i, 2, •••s'^ — i; il vieni dcMic, eo