CHAPITRE XII. — THÉOHIB DBS RÂCUfBS DB L'uNITÉ

malliplîant nLeathre à membre ces deux égalités,

Q*=:(-i) « n(r-f) = (-i) » a-, et, par sirite,

(i5) Q = ±i « /ni

Eq tenant compte de (i3), on trouve

(i6), 2 ' MB sio • • • sin — =-db /rt.

Sitt-

Le signe à choisir dans cette formule dépend encore de la valeur de k; c'est le signe 4- quand on prend k = i. Nous allons démontrer une proposition importante au sujet de ce signe, dont nous nous occuperons plus tard d'une façon détaillée.

La fonction Q définie par l'équation (i i) est une fonction entière et rationnelle de r ; ordonnée par rapport aux puissances dû r, elle admet des coefficients rationnels et entiers. Si donc on pose

'• = '^îi

il vient

F représentant une fonction rationnelle, dont les coefficients sont indépendants de k. Prenons pour k la suite des valeurs

Al -^ I|2j m m t J tt —~- I f

r^ représentera suecessivemeHt toutes les- racines de l'équation X,i = o ; la somme

k 2Q = *^C'^o)H-F(rJ)4....-4-F^rJ-i>

est une fonetioD sjmétrique des racioes de cette équation; elle s'exprime donc rationnellememt à Faîde des coefficients de l'équation, qui sont des nombres rationnels; elle est donc elle-même un nombre rationnel. D'autre part, d'après la formule (l5), on a

^9^ LITIE II. — LES RACI5ES.

A es l un nombre entier égal à la différence entre le nombre de fois où il faut prendre dans (i 5) le signe + et le nombre de fois où il faut prendre le signe — . La somme devant être rationnelle, il faut que h soit nul; on peut donc énoncer la proposition suivante :

I. En donnant à k dans la formule (16) /a suite des valeurs 1 , 2, . • . , n — I , le nombre des seconds membres positifs est égal à celui des seconds membres négatifs.

Il est à peine besoin de dire que la même proposition reste vraie, lorsque les valeurs de k forment un autre sjsième complet de restes, en excluant le cas du nombre divisible par /i.

§ 143. — RacineB primitiTes d'une congraence.

Parallèlement à la théorie des racines de Tunité se place la théorie des congruences binômes; sans leur aide, i) est impossible de faire des progrès dans la théorie des équations de division. II convient de développer ici leurs propriétés fondamentales; elles montrent nettement leur analogie avec la théorie des racines de Tunilé.

Soit n un nombre premier, et

(\) f(^) = «0^'" -+- aiX^-^ -^. . .-h am-\^-^ CL

une fonction entière de x ayant des coefficients entiers, dont le premier a^ n'est pas divisible par n. Soit a un nombre tel que /(a) soit divisible par n\ nous dirons (par analogie avec les équations) que a est racine de la congruence de degré m

(2) f(a;)^o (mod/i).

Tout nombre qui diffère de a d'un multiple de n est évidemmenl racine de la congruence (2). Ces racines, dont la différence est divisible par n, ne seront pas considérées comme distinctes. Cette hypothèse permet de démontrer la proposition suivante :

I. Une congruence de degré m, relative à un module premier, ne peut avoir plus de m racines distinctes.

Le théorème est vrai pour m = i ; la congruence

UoX-ha^o (mod n)